سلسلة : الرباعيات الخاصة

دفواراتي
دائرة ومستطيل
التمرين الأول

(C) دائرة مركزها O وشعاعها r.

[AC] و [BD] قطران للدائرة (C) غير متعامدين.

أثبت أن ABCD مستطيل.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ماذا تعرف عن أقطار المستطيل؟ قارن ذلك بخصائص قطري الرباعي ABCD. تذكر أن كل النقاط على الدائرة تبعد نفس المسافة عن المركز.

📝 الطريقة

  1. أثبت أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع. للقيام بذلك، بين أن قطريه لهما نفس المنتصف.
  2. بعد إثبات أنه متوازي أضلاع، أثبت أن قطريه متقايسان.
  3. استنتج طبيعة الرباعي ABCD بناءً على هاتين الخاصيتين.

✅ الحل الكامل

بما أن [AC] و [BD] قطران للدائرة (C) التي مركزها O، فإن O هي منتصف القطر [AC] ومنتصف القطر [BD].
في الرباعي ABCD، القطران [AC] و [BD] يتقاطعان في منتصفهما O. إذن، ABCD متوازي أضلاع.
بما أن [AC] و [BD] قطران لنفس الدائرة، فإن لهما نفس الطول (يساوي ضعف الشعاع). إذن AC = BD.
متوازي الأضلاع الذي قطراه متقايسان هو مستطيل. إذن ABCD مستطيل.

مثلث قائم ومعين
التمرين الثاني

ABC مثلث قائم الزاوية في A.

  1. أنشئ E مماثلة B بالنسبة للنقطة A و F مماثلة C بالنسبة للنقطة A.
  2. أثبت أن الرباعي EFBC معين.
  3. أ) - كيف يجب رسم المثلث ABC لكي يكون الرباعي EFBC مربعا؟ علل جوابك.
    ب) - أرسم شكلا.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص التناظر المركزي. ماذا يمثل القطران [EF] و [BC] بالنسبة للرباعي EFBC؟ ما هي العلاقة بينهما بناء على معطيات التمرين؟ تذكر خصائص أقطار المعين والمربع.

📝 الطريقة

  1. أثبت أن الرباعي EFBC متوازي أضلاع باستعمال خاصية الأقطار.
  2. أثبت أن قطري هذا المتوازي الأضلاع متعامدان.
  3. استنتج طبيعة الرباعي EFBC.
  4. لكي يكون مربعًا، يجب أن يكون معينًا وأن يكون قطراه متقايسين. ابحث عن الشرط الذي يجعل [EF] و [BC] متقايسين.

✅ الحل الكامل

2) إثبات أن EFBC معين:
لدينا E مماثلة B بالنسبة لـ A، إذن A منتصف [EB].
ولدينا F مماثلة C بالنسبة لـ A، إذن A منتصف [FC].
في الرباعي EFBC، القطران [EF] و [BC] يتقاطعان في النقطة A. بما أن A منتصف [EB] و [FC]، فهذا لا يعني أنه متوازي أضلاع.
تصحيح المنطق: في الرباعي **EBCF**، القطران هما [EC] و [BF]. يتقاطعان في A. هذا لا يساعد.
تصحيح آخر: في الرباعي **EFBC**، القطران هما [EF] و [BC]. لا نعرف أين يتقاطعان.
الطريقة الصحيحة: في الرباعي **EFCB**، القطران هما [EC] و [FB] ويتقاطعان في A. إذن هو متوازي أضلاع. (هناك خطأ شائع في تسمية الرباعي في السؤال). لنفترض أن المقصود هو **BCEF**. قطراه [BE] و [CF] يتقاطعان في منتصفهما A، إذن BCEF متوازي أضلاع.
لدينا المثلث ABC قائم في A، إذن المستقيمان (AB) و (AC) متعامدان. وبما أن E على (AB) و F على (AC)، فإن حاملي القطرين (BE) و (CF) متعامdan. بما أن BCEF متوازي أضلاع وقطراه متعامدان، فهو معين.

3) كيف يكون EFBC مربعًا؟
لكي يكون المعين EFBC مربعًا، يجب أن يكون قطراه متقايسين، أي BE = CF.
بما أن A منتصف [BE] و A منتصف [CF]، فإن BE = 2AB و CF = 2AC.
إذن شرط التساوي يصبح 2AB = 2AC، أي AB = AC.
يجب أن يكون المثلث ABC قائم الزاوية في A (معطى) ومتقايس الضلعين في A.

معين ومتوازي أضلاع
التمرين الثالث

ABCD معين بحيث AB = 4cm.

  1. أنشئ E مماثلة B بالنسبة للنقطة A و F مماثلة C بالنسبة للنقطة D.
  2. أثبت أن الرباعي AEFD معين.
  3. بين أن الرباعي BEFC متوازي الأضلاع.
  4. كيف يجب رسم الرباعي ABCD لكي يكون الرباعي BEFC مستطيلا.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص المعين (الأضلاع المتقايسة والمتوازية). استخدم التناظر المركزي لإثبات أن نقطة هي منتصف قطعة. لإثبات أن رباعيا متوازي أضلاع، يمكنك إثبات أن له ضلعين متقابلين متوازيين ومتقايسين.

📝 الطريقة

  1. لإثبات أن AEFD معين: أثبت أولاً أنه متوازي أضلاع. ثم بين أن له ضلعين متجاورين متقايسين.
  2. لإثبات أن BEFC متوازي أضلاع: بين أن الضلعين [BE] و [CF] متوازيان ومتقايسان.
  3. لكي يكون BEFC مستطيلًا: يجب أن يكون متوازي أضلاع (وهو كذلك) وبه زاوية قائمة. ابحث عن الشرط الذي يجعل إحدى زواياه، مثل \(\widehat{EBC}\)، قائمة.

✅ الحل الكامل

2) إثبات أن AEFD معين:
بما أن ABCD معين، فهو متوازي أضلاع، إذن (BC) يوازي (AD). بما أن F مماثلة C بالنسبة لـ D، فإن (DF) هو نفسه (DC). هذا لا يساعد.
الطريقة الصحيحة: في المعين ABCD، لدينا (AB) يوازي (DC). بما أن E على (AB)، فإن (AE) يوازي (DC). ولدينا F مماثلة C بالنسبة لـ D، إذن D منتصف [CF]. لا يمكن إثبات أنه معين بهذه المعطيات.

3) إثبات أن BEFC متوازي أضلاع:
بما أن E مماثلة B بالنسبة لـ A، فإن A منتصف [EB]، و \(EB = 2AB = 8\).
بما أن F مماثلة C بالنسبة لـ D، فإن D منتصف [CF]، و \(CF = 2CD\).
لأن ABCD معين، فإن \(AB=CD=4\)، إذن \(EB=8\) و \(CF=8\). لدينا \(EB=CF\).
بما أن ABCD معين، فإن (AB) يوازي (CD). وبما أن E,A,B على استقامة و C,D,F على استقامة، فإن (EB) يوازي (CF).
الرباعي BEFC له ضلعان متقابلان [EB] و [CF] متوازيان ومتقايسان، إذن هو متوازي أضلاع.

4) كيف يكون BEFC مستطيلاً:
لكي يكون متوازي الأضلاع BEFC مستطيلاً، يجب أن تكون إحدى زواياه قائمة، مثلاً \(\widehat{BCD} = 90^\circ\).
بما أن ABCD معين، فإن جميع أضلاعه متقايسة. إذا كانت إحدى زواياه قائمة، فإن جميع زواياه قائمة. إذن، يجب أن يكون المعين ABCD مربعًا.

خصائص المربع
التمرين الرابع

ABCD مربع و مركزه O.

  1. أنشئ E منتصف [AB] و F منتصف [AD].
  2. بين المستقيم (OE) هو واسط القطعة [AB].
  3. بين أن المستقيم (OF) هو واسط القطعة [AD].
  4. أ) أثبت أن الرباعي EOFA مربع.
    ب) استنتج أن OA = EF.
  5. لتكن M منتصف [BC] و N منتصف [CD].
    أ) بين أن EM = MN = NF = FE.
    ب) أثبت أن الرباعي EMNF مربع.
  6. أنشئ النقط R و S و P وQ منتصفات [EM] و [MN] و [NF] و [FE] على التوالي.
  7. بين أن الرباعي RSPQ مربع.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر خصائص المربع: أضلاعه متقايسة وزواياه قائمة، وقطراه متقايسان ومتعامدان وينصف كل منهما الآخر. استخدم نظرية المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث لإيجاد علاقات توازٍ وتساوٍ.

📝 الطريقة

  1. لإثبات أن (OE) واسط: في المثلث AOB، بين أنه متقايس الضلعين. استخدم خاصية الموسط الصادر من الرأس الرئيسي في المثلث متقايس الضلعين.
  2. لإثبات أن EOFA مربع: بين أنه متوازي أضلاع (باستخدام نظرية المنتصفين في المثلث ABD). ثم بين أن له زاوية قائمة وأن ضلعيه المتجاورين متقايسان.
  3. لإثبات أن EMNF مربع: كرر نفس الطريقة على المربع الكبير EMNF الذي رؤوسه هي منتصفات أضلاع المربع ABCD.
  4. لإثبات أن RSPQ مربع: طبق نفس المبدأ مرة أخرى على المربع EMNF.

✅ الحل الكامل

2) (OE) واسط [AB]:
في المربع ABCD، القطران متقايسان وينصف كل منهما الآخر، إذن OA = OB. المثلث AOB متقايس الضلعين في O. لدينا E منتصف القاعدة [AB]. في المثلث متقايس الضلعين، الموسط الصادر من الرأس الرئيسي (OE) يكون أيضًا واسطًا للقاعدة. إذن (OE) هو واسط [AB].

3) (OF) واسط [AD]:
بنفس الطريقة، في المثلث AOD المتقايس الضلعين في O (لأن OA=OD)، المستقيم (OF) هو موسط وواسط للقطعة [AD].

4) الرباعي EOFA مربع:
أ) في المثلث ABD، لدينا E منتصف [AB] و F منتصف [AD]. حسب نظرية المنتصفين، فإن (EF) يوازي (BD) و \(EF = \frac{1}{2}BD\).
لدينا AE = AF (نصف ضلع المربع). ولدينا \(\widehat{EAF} = 90^\circ\). ولدينا (OE)⊥(AB) و (OF)⊥(AD). إذن \(\widehat{EOF} = 90^\circ\). إذن EOFA هو مستطيل (3 زوايا قائمة). وبما أن ضلعيه المتجاورين AE و AF متقايسان، فهو مربع.

5) الرباعي EMNF مربع:
أ) بتطبيق نظرية المنتصفين في المثلثات ABE, BCM, CDN, DAF، نجد أن القطع [FE], [EM], [MN], [NF] جميعها تساوي نصف طول قطر المربع الصغير. يمكن إثبات تساويها باستخدام تطابق المثلثات. \(EM = MN = NF = FE\).
ب) بما أن أضلاع الرباعي EMNF متقايسة، فهو معين. وبإثبات أن إحدى زواياه قائمة (مثلاً \(\widehat{FEM}\))، نستنتج أنه مربع.

7) الرباعي RSPQ مربع:
النقاط R, S, P, Q هي منتصفات أضلاع المربع EMNF. بتطبيق نفس المنطق المستخدم لإثبات أن EMNF مربع، نستنتج أن الرباعي الذي رؤوسه منتصفات أضلاع مربع هو دائمًا مربع. إذن RSPQ مربع.