سلسلة متوازي الأضلاع

التمرين رقم 1

\(ABC\) مثلث و \([AH]\) ارتفاعه الصادر من \(A\).

المستقيم الموازي لـ \((AB)\) والمار من \(C\) والمستقيم العمودي على \((AH)\) والمار من \(A\) يتقاطعان في \(D\).

ما هي طبيعة الرباعي \(ABCD\)؟ علل جوابك.

لدينا \([AH]\) ارتفاع المثلث الصادر من \(A\)، إذن \((AH) \perp (BC)\). لدينا المستقيم \((AD)\) عمودي على \((AH)\) في النقطة \(A\) (معطى)، إذن \((AD) \perp (AH)\). بما أن المستقيمين \((AD)\) و \((BC)\) متعامدان على نفس المستقيم \((AH)\)، فهما متوازيان: \((AD) \parallel (BC)\). لدينا أيضاً \((AB) \parallel (CD)\) (معطى بالبناء). بما أن كل ضلعين متقابلين في الرباعي \(ABCD\) متوازيان، فإن طبيعة الرباعي هي متوازي أضلاع.

التمرين رقم 2

\(ABCD\) متوازي أضلاع. المستقيم الموازي لـ \((BD)\) والمار من \(C\) يقطع \((AB)\) في \(E\) و \((AD)\) في \(F\).

(2) بين أن \(BECD\) متوازي أضلاع.

(3) بين أن الرباعي \(BCFD\) هو متوازي أضلاع.

(4) قارن بين \(CE\) و \(BD\) من جهة وبين \(CF\) و \(BD\) من جهة أخرى.

(5) ما تمثل النقطة \(C\) بالنسبة للقطعة \([EF]\)؟

(2) في الرباعي \(BECD\): لدينا \((CE) \parallel (BD)\) (معطى) و \((BE) \parallel (CD)\) (لأن \(E \in (AB)\) و \((AB) \parallel (CD)\)). إذن \(BECD\) متوازي أضلاع. (3) في الرباعي \(BCFD\): لدينا \((CF) \parallel (BD)\) (معطى) و \((DF) \parallel (BC)\) (لأن \(F \in (AD)\) و \((AD) \parallel (BC)\)). إذن \(BCFD\) متوازي أضلاع. (4) بما أن \(BECD\) متوازي أضلاع، فإن الضلعين المتقابلين \(CE = BD\). بما أن \(BCFD\) متوازي أضلاع، فإن الضلعين المتقابلين \(CF = BD\). (5) بما أن \(CE = BD\) و \(CF = BD\)، فإن \(CE = CF\). بما أن النقط \(E, C, F\) على استقامة واحدة (لأنها تنتمي للمستقيم الموازي لـ \((BD)\) والمار من \(C\))، فإن النقطة \(C\) هي منتصف القطعة \([EF]\).

التمرين رقم 3

\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). لتكن \(M\) منتصف \([AB]\) و \(N\) منتصف \([CD]\).

(1) بين أن \(AM = CN\).

(2) بين أن الرباعي \(AMCN\) متوازي أضلاع.

(3) استنتج أن النقاط \(M, O, N\) على استقامة واحدة.

(1) لدينا \(ABCD\) متوازي أضلاع، إذن \(AB = CD\). بما أن \(M\) منتصف \([AB]\) فإن \(AM = \frac{1}{2}AB\). وبما أن \(N\) منتصف \([CD]\) فإن \(CN = \frac{1}{2}CD\). إذن \(AM = CN\). (2) في الرباعي \(AMCN\): لدينا \(AM = CN\) و \((AM) \parallel (CN)\) (لأن المقطعين جزء من الضلعين المتوازيين للمتوازي الكبير). رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع. (3) بما أن \(AMCN\) متوازي أضلاع، فإن قطريه \([AC]\) و \([MN]\) يتقاطعان في منتصفهما. بما أن \(O\) هي منتصف \([AC]\) (مركز \(ABCD\))، فهي بالضرورة منتصف \([MN]\). إذن النقاط \(M, O, N\) على استقامة واحدة.

التمرين رقم 4

\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). لتكن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(B\) و \(F\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(D\).

(1) بين أن الرباعي \(EBFD\) متوازي أضلاع.

(2) بين أن الرباعي \(EAFC\) متوازي أضلاع.

(3) استنتج أن \(O\) هي منتصف \([EF]\).

(1) لدينا \(B\) منتصف \([AE]\) و \(D\) منتصف \([CF]\). من توازي \(ABCD\) نجد \(AB=CD\) و \((AB)\parallel(CD)\). إذن \(BE=DF\) وهما متوازيان، فالرباعي \(EBFD\) متوازي أضلاع. (2) في الرباعي \(EAFC\)، القطران هما \([EF]\) و \([AC]\). (أو يمكن إثبات أن \(EA\) يوازي ويقايس \(FC\)). (3) بما أن \(EAFC\) متوازي أضلاع (لأن \(AE = 2 AB\) و \(CF = 2 CD\) و هما متوازيان)، فإن قطريه لهما نفس المنتصف. وبما أن \(O\) هي منتصف \([AC]\)، فهي أيضاً منتصف القطر الآخر \([EF]\).

تمارين متوازي الأضلاع