سلسلة تمارين متوازي الأضلاع

التمرين (1)

\(EFG\) مثلث.

3) أنشئ \(E'\) و \(F'\) مماثلتي \(E\) و \(F\) على التوالي بالنسبة للنقطة \(G\).

4) أثبت أن الرباعي \(EFE'F'\) متوازي الأضلاع.

لدينا في الرباعي \(EFE'F'\)، القطران هما \([EE']\) و \([FF']\). بما أن \(E'\) مماثلة \(E\) بالنسبة للنقطة \(G\)، فإن \(G\) هي منتصف القطعة \([EE']\). بما أن \(F'\) مماثلة \(F\) بالنسبة للنقطة \(G\)، فإن \(G\) هي منتصف القطعة \([FF']\). بما أن قطري الرباعي يتقاطعان في منتصفهما، فإن الرباعي متوازي أضلاع.

التمرين (2)

\(ABCD\) متوازي الأضلاع مركزه \(O\). \(E\) نقطة من \([DO]\).

1) أنشئ \(F\) مماثلة النقطة \(E\) بالنسبة للنقطة \(O\).

2) أثبت أن الرباعي \(AFCE\) متوازي الأضلاع.

القطران في الرباعي \(AFCE\) هما \([AC]\) و \([EF]\). بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف القطر \([AC]\). بما أن \(F\) مماثلة \(E\) بالنسبة لـ \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف القطر \([EF]\). بما أن القطرين لهما نفس المنتصف \(O\)، فإن الرباعي \(AFCE\) متوازي أضلاع.

التمرين (3)

\([AB]\) قطعة طولها \(4\text{ cm}\).

\((C_1)\) دائرة مركزها \(A\) وشعاعها \(1,5\). \((C_2)\) دائرة مركزها \(B\) وشعاعها \(1,5\). تتقاطعان في \(E\) و \(F\).

1) أثبت أن الرباعي \(AEBF\) متوازي الأضلاع.

2) المستقيم \((EA)\) يقطع الدائرة \((C_1)\) في النقطة \(M\) والمستقيم \((FB)\) يقطع الدائرة \((C_2)\) في النقطة \(N\). أثبت أن \(MENF\) متوازي أضلاع.

1) لدينا \(AE = AF = 1,5\) (شعاع الدائرة الأولى) و \(BE = BF = 1,5\) (شعاع الدائرة الثانية). إذن \(AE=AF=BE=BF\)، مما يعني أن الرباعي \(AEBF\) هو معين (كل أضلاعه متقايسة)، والمعين هو متوازي أضلاع. 2) بما أن \(M\) تنتمي للدائرة \((C_1)\) و \([EM]\) قطر يمر بـ \(A\)، فإن \(A\) منتصف \([EM]\). بالمثل، \(B\) منتصف \([FN]\). بما أن \([AE] \parallel [BF]\) و \(AE=BF\)، فإن الرباعي \(MENF\) يحقق شروط التوازي والتقايس للأقطار أو الأضلاع.

التمرين (4)

\(ABCD\) متوازي الأضلاع بحيث: \(AB=4\)، \(AD=6\) و \(\widehat{BAD}=40^\circ\).

5) أنشئ \(M\) منتصف \([AB]\) و \((\Delta)\) المستقيم الموازي لـ \((AD)\) والمار من \(M\) يقطع \((DC)\) في النقطة \(N\).

6) بين أن \(AMND\) متوازي الأضلاع.

7) أحسب: \(\widehat{MND}\) ثم \(\widehat{ADN}\).

8) بين أن \(N\) منتصف \([DC]\).

6) في الرباعي \(AMND\)، لدينا \((MN) \parallel (AD)\) (بناءً) و \((AM) \parallel (DN)\) (لأن \((AB) \parallel (DC)\) في متوازي الأضلاع الكبير). إذن \(AMND\) متوازي أضلاع. 7) بما أن \(AMND\) متوازي أضلاع، فإن \(\widehat{MND} = \widehat{MAD} = 40^\circ\) (زاويتان متقابلتان). الزاويتان \(\widehat{ADN}\) و \(\widehat{MAD}\) متكاملتان (متتاليتان)، إذن \(\widehat{ADN} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). 8) بما أن \(AMND\) متوازي أضلاع، فإن \(DN = AM\). وبما أن \(M\) منتصف \([AB]\)، فإن \(AM = \frac{1}{2}AB\). وبما أن \(AB = DC\)، فإن \(DN = \frac{1}{2}DC\)، مما يعني أن \(N\) منتصف \([DC]\).

التمرين (5)

\(ABC\) مثلث متساوي الأضلاع و \(I\) منتصف \([AC]\).

1) أنشئ \(D\) مماثلة النقطة \(B\) بالنسبة لـ \(I\).

2) أثبت أن \(ABCD\) متوازي الأضلاع.

3) استنتج قياس الزاوية \(\widehat{ADC}\).

2) في الرباعي \(ABCD\)، القطران هما \([AC]\) و \([BD]\). لدينا \(I\) منتصف \([AC]\) (معطى) و \(I\) منتصف \([BD]\) (لأن \(D\) مماثلة \(B\) بالنسبة لـ \(I\)). إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع. 3) بما أن المثلث \(ABC\) متساوي الأضلاع، فإن \(\widehat{ABC} = 60^\circ\). في متوازي الأضلاع، كل زاويتين متقابلتين متقايستان، إذن \(\widehat{ADC} = \widehat{ABC} = 60^\circ\).

التمرين (6)

\(ABC\) مثلث بحيث: \(\widehat{BAC}=70^\circ\). المستقيم الموازي لـ \((AC)\) والمار من \(B\) يقطع الموازي لـ \((AB)\) والمار من \(C\) في \(D\).

1) أثبت أن \(ABDC\) متوازي الأضلاع.

أحسب: \(\widehat{BDC}\) ثم \(\widehat{ABD}\).

1) حسب المعطيات، الرباعي \(ABDC\) فيه \((BD) \parallel (AC)\) و \((CD) \parallel (AB)\). بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان، فإن الرباعي متوازي أضلاع. بما أن \(ABDC\) متوازي أضلاع، فإن \(\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 70^\circ\). الزاوية \(\widehat{ABD}\) مكملة لـ \(\widehat{BAC}\)، إذن \(\widehat{ABD} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).