(2) - بين أن الرباعي \(ABCD\) متوازي الأضلاع. [cite: 52]
لدينا في الرباعي \(ABCD\)، القطران هما \([AC]\) و \([BD]\).\(I\) هي منتصف \([AC]\) (معطى).بما أن \(D\) هي مماثلة \(B\) بالنسبة لـ \(I\)، فإن \(I\) هي منتصف \([BD]\).بما أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما، فإن الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع.
تمرين 2
\(EFG\) مثلث. [cite: 53]
(1) - أنشئ \(E'\) و \(F'\) مماثلتي \(E\) و \(F\) على التوالي بالنسبة للنقطة \(G\). [cite: 54]
(2) - أثبت أن الرباعي \(EFE'F'\) متوازي الأضلاع. [cite: 54]
في الرباعي \(EFE'F'\)، القطران هما \([EE']\) و \([FF']\).بما أن \(E'\) مماثلة \(E\) بالنسبة لـ \(G\)، فإن \(G\) منتصف \([EE']\).بما أن \(F'\) مماثلة \(F\) بالنسبة لـ \(G\)، فإن \(G\) منتصف \([FF']\).بما أن القطرين لهما نفس المنتصف \(G\)، فإن الرباعي متوازي أضلاع.
تمرين 3
\(ABCD\) متوازي الأضلاع مركزه \(O\). \(E\) نقطة من \([DO]\) تختلف عن \(D\) و \(O\). [cite: 54]
(2) - أثبت أن الرباعي \(AFCE\) متوازي الأضلاع. [cite: 55]
في الرباعي \(AFCE\)، القطران هما \([AC]\) و \([EF]\).بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف \([AC]\).بما أن \(F\) مماثلة \(E\) بالنسبة لـ \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف \([EF]\).إذن الرباعي \(AFCE\) متوازي أضلاع لأن قطريه يتقاطعان في منتصفهما.
تمرين 4
\([AB]\) قطعة طولها \(6 cm\). ارسم دائرتين مركزهما \(A\) و \(B\) وشعاعهما \(4 cm\). تتقاطعان في \(E\) و \(F\). [cite: 56, 57, 58, 59]
(1) - أثبت أن الرباعي \(AEBF\) متوازي الأضلاع. [cite: 60]
(2) - أثبت أن الرباعي \(MENF\) متوازي الأضلاع (بناءً على تمديد المستقيمات). [cite: 60, 61]
لدينا \(AE = AF = 4 cm\) (شعاع الدائرة الأولى) و \(BE = BF = 4 cm\) (شعاع الدائرة الثانية).إذن \(AE = BE = BF = AF = 4 cm\).بما أن جميع أضلاع الرباعي \(AEBF\) متقايسة، فهو معين، والمعين هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع.
تمرين 5
\(ABC\) مثلث بحيث \(\widehat{BAC}=70^{\circ}\). ارسم \(D\) بحيث يكون الموازي لـ \((AC)\) من \(B\) والموازي لـ \((AB)\) من \(C\) يتقاطعان في \(D\). [cite: 62]
(1) - أثبت أن الرباعي \(ABDC\) متوازي الأضلاع. [cite: 64]
بناءً على المعطيات: \((BD) \parallel (AC)\) و \((CD) \parallel (AB)\).كل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين هو متوازي أضلاع حسب التعريف.الزاوية \(\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 70^{\circ}\) (زاويتان متقابلتان).
تمرين 6
دائرتان لهما نفس المركز \(O\). \([AC]\) قطر للدائرة الأولى و \([BD]\) قطر للدائرة الثانية. [cite: 64, 65]
أثبت أن الرباعي \(ABCD\) متوازي الأضلاع. [cite: 66]
بما أن \([AC]\) قطر للدائرة الأولى التي مركزها \(O\)، فإن \(O\) منتصف \([AC]\).بما أن \([BD]\) قطر للدائرة الثانية التي مركزها \(O\)، فإن \(O\) منتصف \([BD]\).إذن القطران لهما نفس المنتصف، فالرباعي متوازي أضلاع.
تمرين 7
\(ABCD\) متوازي أضلاع حيث \(AB=4cm\) و \(AD=6cm\). [cite: 67]
(1) - بين أن \(AMND\) متوازي أضلاع (حيث \(M\) منتصف \([AB]\) والموازي لـ \((AD)\)). [cite: 68, 69]
لدينا \((MN) \parallel (AD)\) (معطى) و \((AM) \parallel (DN)\) (لأن \((AB) \parallel (DC)\)).الرباعي الذي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين هو متوازي أضلاع.
تمرين 8
\(ABC\) مثلث متساوي الأضلاع و \(I\) منتصف \([AC]\). [cite: 71]
(1) - أنشئ \(D\) مماثلة \(B\) بالنسبة لـ \(I\). أثبت أن \(ABCD\) متوازي أضلاع. [cite: 72, 73]
بما أن \(I\) منتصف القطرين \([AC]\) و \([BD]\)، فإن الرباعي متوازي أضلاع.بما أن المثلث \(ABC\) متساوي الأضلاع، فإن \(\widehat{ABC} = 60^{\circ}\)، ومنه \(\widehat{ADC} = 60^{\circ}\). [cite: 74]
تمرين 9
نعتبر الشكل حيث \(ABDC\) و \(EFDC\) متوازيا أضلاع. بين أن \(AE=BF\). [cite: 75, 82]
من \(ABDC\) متوازي أضلاع: \((AB)\) يوازي \((CD)\) و \(AB = CD\).من \(EFDC\) متوازي أضلاع: \((EF)\) يوازي \((CD)\) و \(EF = CD\).إذن \((AB)\) يوازي \((EF)\) و \(AB = EF\)، فالرباعي \(ABFE\) متوازي أضلاع، وبالتالي \(AE = BF\).
تمرين 10
دائرتان لهما نفس الشعاع ومركزاهما \(A\) و \(B\). تتقاطعان في \(E\). أثبت أن \(AEFB\) متوازي أضلاع. [cite: 83, 84, 86]
بما أن الدائرتين لهما نفس الشعاع \(r\)، فإن \(AE = AF = BE = BF = r\).الرباعي الذي فيه جميع الأضلاع متقايسة هو معين، وبالتالي هو متوازي أضلاع.