سلسلة متوازي الأضلاع

التمرين رقم 5

\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). لتكن \(E\) منتصف \([AB]\) و \(F\) منتصف \([AD]\).

المستقيم المار من \(C\) والموازي لـ \((BD)\) يقطع \((AB)\) في \(G\) و \((AD)\) في \(K\).

(1) بين أن \(B\) منتصف \([AG]\).

(2) بين أن الرباعي \(BDKC\) متوازي أضلاع.

(1) في الرباعي \(BDCG\): لدينا \((BD) \parallel (GC)\) (معطى) و \((BG) \parallel (DC)\) (لأن \(G \in (AB)\) و \((AB) \parallel (DC)\)). إذن \(BDCG\) متوازي أضلاع، مما يعني أن الضلعين المتقابلين \(BG = DC\). بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع فإن \(AB = DC\). إذن \(AB = BG\). بما أن النقط \(A, B, G\) على استقامة واحدة، فإن \(B\) هي منتصف \([AG]\). (2) في الرباعي \(BDKC\): لدينا \((BD) \parallel (CK)\) (معطى) و \((DK) \parallel (BC)\) (لأن \(K \in (AD)\) و \((AD) \parallel (BC)\)). بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان، فإن الرباعي \(BDKC\) هو متوازي أضلاع.

التمرين رقم 6

\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\).

المستقيم \(\Delta\) المار من \(O\) يقطع \((AB)\) في \(E\) و \((CD)\) في \(F\).

(1) بين أن \(O\) منتصف \([EF]\).

(2) بين أن الرباعي \(DEBF\) متوازي أضلاع.

(1) نعتبر المثلثين \(OAE\) و \(OCF\): - لدينا \(OA = OC\) (لأن \(O\) منتصف القطر \([AC]\)). - الزاوية \(\widehat{OAE} = \widehat{OCF}\) (بالتبادل الداخلي لأن \((AB) \parallel (CD)\)). - الزاوية \(\widehat{AOE} = \widehat{COF}\) (بالتقابل بالرأس). إذن المثلثان \(OAE\) و \(OCF\) متقايسان، ومنه نستنتج أن \(OE = OF\)، أي أن \(O\) هي منتصف \([EF]\). (2) في الرباعي \(DEBF\)، القطران هما \([DB]\) و \([EF]\). لدينا \(O\) منتصف \([DB]\) (مركز متوازي الأضلاع الأصلي). لدينا \(O\) منتصف \([EF]\) (أثبتناه في السؤال الأول). بما أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما، فإن الرباعي \(DEBF\) هو متوازي أضلاع.

التمرين رقم 7

\(ABC\) مثلث. لتكن \(E\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \(A\)، و \(F\) مناظرة \(C\) بالنسبة لـ \(A\).

(1) بين أن الرباعي \(BECF\) متوازي أضلاع.

(2) لتكن \(M\) نقطة من \([BC]\). ابن \(N\) مناظرة \(M\) بالنسبة لـ \(A\). أين تقع \(N\)؟ علل جوابك.

(1) في الرباعي \(BECF\)، القطران هما \([EF]\) و \([BC]\). (ملاحظة: حسب المعطيات \(A\) هي منتصف \([BE]\) ومنتصف \([CF]\)). بما أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما \(A\)، فإن الرباعي \(BECF\) هو متوازي أضلاع. (2) بما أن \(N\) هي مناظرة \(M\) بالنسبة لـ \(A\)، وبما أن الرباعي \(BECF\) متوازي أضلاع مركزه \(A\)، فإن مناظرة أي نقطة من الضلع \([BC]\) بالنسبة للمركز \(A\) ستقع بالضرورة على الضلع المقابل له. إذن النقطة \(N\) تقع على القطعة \([EF]\).

تمارين متوازي الأضلاع (تابع)