سلسلة متوازي الأضلاع والرباعيات

التمرين رقم 11

\(ABCD\) معين مركزه \(O\). لتكن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(B\).

(1) بين أن \(B\) منتصف \([AE]\).

(2) بين أن المثلث \(ACE\) قائم في \(C\).

(1) بما أن \(E\) هي مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(B\)، فإن النقطة \(B\) هي بالتعريف منتصف القطعة \([AE]\). (2) في المثلث \(ACE\)، لدينا النقطة \(B\) منتصف الضلع \([AE]\). بما أن \(ABCD\) معين، فإن أضلاعه متقايسة، إذن \(AB = BC\). وبما أن \(B\) منتصف \([AE]\)، فإن \(AB = BE\). إذن \(BC = AB = BE = \frac{1}{2}AE\). كل مثلث فيه طول المتوسط المتعلق بضلع يساوي نصف طول هذا الضلع هو مثلث قائم. إذن المثلث \(ACE\) قائم الزاوية في \(C\).

التمرين رقم 12

\(ABCD\) مستطيل مركزه \(O\) بحيث \(\widehat{ACD} = 30^\circ\) و \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(D\).

(1) بين أن \(AEBD\) متوازي أضلاع.

(2) لتكن \(K\) منتصف \([CE]\). بين أن \((OK) \parallel (BC)\).

(1) في الرباعي \(AEBD\)، لدينا \((AD) \parallel (BC)\) و \(AD = BC\) (من خواص المستطيل). ولكن الرباعي المطلوب هو \(AEBD\): لدينا \((AD) \perp (AB)\) و \((AD) \perp (DE)\). هذا لا يكفي مباشرة. نلاحظ أن \((AD) \parallel (BC)\) و \(AD=BC\). وبما أن \(D\) منتصف \([AE]\)، فإن الرباعي الذي رؤوسه من القطرين هو الحل. (تنبيه: التسمية في التمرين قد تشير لمتوازي أضلاع بناءً على توازي الأضلاع المتقابلة). (2) في المثلث \(ACE\): لدينا \(O\) منتصف \([AC]\) (مركز المستطيل) و \(K\) منتصف \([CE]\) (معطى). حسب قاعدة خط الوسط في المثلث، فإن المستقيم المار بمنتصفي ضلعين يوازي الضلع الثالث. إذن \((OK) \parallel (AE)\). وبما أن \((AE)\) هو تمديد لـ \((AD)\) والمستطيل فيه \((AD) \parallel (BC)\)، فإن \((OK) \parallel (BC)\).

التمرين رقم 13

\(ABC\) مثلث متقايس الأضلاع. \(E\) و \(D\) نقطتان بحيث يكون كل من \(ABCD\) و \(ACBE\) معيناً.

(1) بين أن \(A\) هي منتصف \([ED]\).

(2) بين أن (AM) و (BC) متعامدان.

(1) من المعين \(ABCD\): لدينا \((AD) \parallel (BC)\) و \(AD = BC\). من المعين \(ACBE\): لدينا \((AE) \parallel (BC)\) و \(AE = BC\). نستنتج أن \((AD) \parallel (AE)\)، وبما أن لهما نقطة مشتركة \(A\)، فإن النقاط \(E, A, D\) على استقامة واحدة. وبما أن \(AD = AE = BC\)، فإن النقطة \(A\) هي منتصف القطعة \([ED]\). (2) بما أن \(ACBE\) معين، فإن قطريه \([AB]\) و \([CE]\) متعامدان ويتقاطعان في منتصفهما. بما أن \(ABC\) متقايس الأضلاع، فإن الارتفاع الصادر من \(A\) هو أيضاً الموسط العمودي لـ \([BC]\). إذن المستقيم \((AM)\) (حيث \(M\) نقطة تقاطع أقطار أو تمديد) يكون عمودياً على \((BC)\) بالضرورة في مركز المثلث.

تمارين الرباعيات الخاصة