الإصلاح النموذجي للتمارين من 8 إلى 10 (ثامنة أساسي)
التمرين رقم 8
\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). لتكن \(M\) نقطة من \([AB]\) و \(N\) نقطة من \([CD]\) بحيث \(AM = CN\).
(1) بين أن الرباعي \(AMCN\) متوازي أضلاع.
(2) بين أن الرباعي \(MBND\) متوازي أضلاع.
(1) نعتبر الرباعي \(AMCN\):- لدينا \(AM = CN\) (معطى).- لدينا \((AM) \parallel (CN)\) لأن \(M\) تنتمي إلى المستقيم \((AB)\) و \(N\) تنتمي إلى المستقيم \((CD)\)، ونعلم أن \((AB) \parallel (CD)\) (أضلاع متقابلة في متوازي الأضلاع \(ABCD\)).بما أن في الرباعي \(AMCN\) ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، فإنه متوازي أضلاع.(2) نعتبر الرباعي \(MBND\):- لدينا \(MB = AB - AM\) و \(DN = CD - CN\).- بما أن \(AB = CD\) و \(AM = CN\)، فإن \(MB = DN\).- ولدينا \((MB) \parallel (DN)\) لنفس الأسباب السابقة.إذن الرباعي \(MBND\) هو متوازي أضلاع.
التمرين رقم 9
\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). لتكن \(I\) منتصف \([OA]\) و \(J\) منتصف \([OC]\).
(1) بين أن الرباعي \(BIDJ\) متوازي أضلاع.
(2) ما هو مركز متوازي الأضلاع \(BIDJ\)؟ علل جوابك.
(1) نعتبر الرباعي \(BIDJ\)، قطراه هما \([BD]\) و \([IJ]\).- نعلم أن \(O\) هي منتصف القطر \([BD]\) (مركز \(ABCD\)).- بما أن \(I\) منتصف \([OA]\) و \(J\) منتصف \([OC]\)، وبما أن \(OA = OC\)، فإن المسافات \(OI = OJ\).- وبما أن النقاط \(I, O, J\) على استقامة واحدة (تنتمي للقطر \([AC]\))، فإن \(O\) هي منتصف \([IJ]\).بما أن قطري الرباعي \(BIDJ\) يتقاطعان في منتصفهما \(O\)، فإنه متوازي أضلاع.(2) مركز متوازي الأضلاع \(BIDJ\) هو النقطة \(O\)، لأنها نقطة تقاطع قطريه وتعتبر منتصف كل منهما.
التمرين رقم 10
\(ABCD\) متوازي أضلاع. لتكن \(E\) منتصف \([AB]\) و \(F\) منتصف \([CD]\).
(1) بين أن الرباعي \(DEBF\) متوازي أضلاع.
(2) استنتج أن المستقيمين \((DE)\) و \((BF)\) متوازيان.
(1) في الرباعي \(DEBF\):- لدينا \(EB = \frac{1}{2}AB\) و \(DF = \frac{1}{2}CD\).- بما أن \(AB = CD\) (أضلاع متقابلة)، فإن \(EB = DF\).- ولدينا \((EB) \parallel (DF)\) لأن المقطعين ينتميان لضلعين متوازيين.إذن الرباعي \(DEBF\) هو متوازي أضلاع (فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان).(2) بما أن \(DEBF\) متوازي أضلاع، فإن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان، ومنه \((DE) \parallel (BF)\).