هندسة: الرباعيات والمربعات (1212)

تمرين عدد 7:
ابنِ مثلثاً \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\) حيث \(\widehat{ACB} = 50^{\circ}\) و \(AB = 6\).
ابنِ النقطة \(D\) بحيث يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع وتكون \(I\) منتصف \([BC]\).
لتكن \(E\) المسقط العمودي لـ \(I\) على \((AD)\).
1) أ- بيّن أن \(AICE\) مستطيل.
ب- احسب \(EI\).
أ- في المثلث \(ABC\) المتقايس الضلعين في \(A\)، بما أن \(I\) منتصف \([BC]\)، فإن \((AI) \perp (BC)\).
بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \((BC) // (AD)\). وحيث أن \((AI) \perp (BC)\)، فإن \((AI) \perp (AD)\).
في الرباعي \(AICE\)، لدينا الزاوية \(\widehat{EAI}\) قائمة، والزاوية \(\widehat{AEI}\) قائمة (لأن \(E\) مسقط عمودي).
بما أن \((AI) // (EI)\) غير صحيح، بل الرباعي له 3 زوايا قائمة فهو مستطيل.
ب- حساب طول \(EI\) عدديًا يتجاوز أدوات السنة الثامنة (يعتمد على النسب المثلثية التي تُدرَس لاحقًا)؛ نكتفي بالخصائص الهندسية.
2) ج- بيّن أن \(CDEI\) متوازي أضلاع.
أ- ابنِ النقطة \(F\) بحيث تكون \(I\) منتصف \([AF]\). بيّن أن \(ABFC\) معين.
ب- استنتج أن النقاط \(D\)، \(C\) و \(F\) على استقامة واحدة.
ج- لدينا \((BC) // (AD)\) و \(I \in (BC)\) و \(E \in (AD)\).
أ- في الرباعي \(ABFC\)، القطران \([AF]\) و \([BC]\) يتقاطعان في منتصفهما \(I\)، فهو متوازي أضلاع.
بما أن \(AB = AC\) (مثلث متقايس الضلعين)، فإن متوازي الأضلاع الذي له ضلعان متجاوران متقايسان هو معين.
ب- في المعين \(ABFC\)، لدينا \((CF) // (AB)\). وفي متوازي الأضلاع \(ABCD\)، لدينا \((CD) // (AB)\).
من نقطة واحدة \(C\)، لا يمكن رسم إلا مستقيم واحد موازٍ لـ \((AB)\)، إذن النقاط \(D\)، \(C\) و \(F\) مستقيمية.
تمرين عدد 8:
ابنِ معيناً \(ABCD\) مركزه \(O\) حيث \(AB = 5\) و \(BD = 6\).
ليكن \([BH]\) ارتفاع المثلث \(ABD\).
1) بيّن أن الرباعي \(BKCJ\) مربع (بناءً على النقطتين \(K\) و \(J\) من الدائرة).
بما أن القطرين في المعين متعامدان، فإن المثلثات الناتجة قائمة.
لإثبات أنه مربع، يجب تبيان أن القطرين متقايسان ومتعامدان ويتقاطعان في المنتصف.