سلسلة: الرباعيات الخاصة

الإصلاح الكامل للتمارين (مستطيل، معين، مربع)

التمرين الأول (المستطيل)

\((C)\) دائرة مركزها \(O\). \([AC]\) و \([BD]\) قطران للدائرة \((C)\) غير متعامدين.

أثبت أن \(ABCD\) مستطيل.

بما أن \([AC]\) و \([BD]\) قطران للدائرة التي مركزها \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف \([AC]\) ومنتصف \([BD]\). بما أن القطرين لهما نفس المنتصف، فإن الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع. بما أن القطرين \([AC]\) و \([BD]\) هما قطرا نفس الدائرة، فإن \(AC = BD\) (متقايسان). كل متوازي أضلاع قطراه متقايسان هو مستطيل.
التمرين الثاني (المعين والمربع)

\(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\).

(1) أنشئ \(E\) مماثلة \(B\) بالنسبة للنقطة \(A\) و \(F\) مماثلة \(C\) بالنسبة للنقطة \(A\).

(2) أثبت أن الرباعي \(EFBC\) معين.

(3) كيف يجب رسم المثلث \(ABC\) لكي يكون الرباعي \(EFBC\) مربعاً؟ علل جوابك.

(2) في الرباعي \(EFBC\)، القطران هما \([EB]\) و \([FC]\). لدينا \(A\) منتصف \([EB]\) ومنتصف \([FC]\) (بالتناظر)، إذن الرباعي متوازي أضلاع. بما أن المثلث قائم في \(A\)، فإن القطرين \((EB) \perp (FC)\). كل متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معين. (3) لكي يكون المعين \(EFBC\) مربعاً، يجب أن يكون قطراه متقايسين (\(EB = FC\)). وهذا يعني أن \(2AB = 2AC\)، أي \(AB = AC\). إذن يجب أن يكون المثلث \(ABC\) قائماً ومتساوي الساقين في \(A\).
التمرين الثالث (المعين والمتوازي)

\(ABCD\) معين بحيث \(AB = 4cm\).

(1) أنشئ \(E\) مماثلة \(B\) بالنسبة لـ \(A\) و \(F\) مماثلة \(C\) بالنسبة لـ \(D\).

(2) أثبت أن الرباعي \(AEFD\) معين.

(3) بين أن الرباعي \(BEFC\) متوازي أضلاع.

(2) لدينا \(AE = AB\) و \(DF = DC\) (بالتناظر). بما أن \(ABCD\) معين فإن \(AB = AD = DC\). إذن \(AE = AD = DF = EF\)، مما يجعل \(AEFD\) معيناً. (3) لدينا \((BE) \parallel (CF)\) لأن كلاهما امتداد لضلعي المعين المتوازيين. ولدينا \(BE = 2AB\) و \(CF = 2DC\)، وبما أن \(AB=DC\) فإن \(BE=CF\). رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع.
التمرين الرابع (المربع)

\(ABCD\) مربع مركزه \(O\). \(E\) منتصف \([AB]\) و \(F\) منتصف \([AD]\).

(2) بين أن المستقيم \((OE)\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\).

(4) أ- أثبت أن الرباعي \(EOFA\) مربع.

(2) في المثلث \(ABC\)، \(O\) منتصف \([AC]\) و \(E\) منتصف \([AB]\)، إذن \((OE) \parallel (BC)\). بما أن \((BC) \perp (AB)\)، فإن \((OE) \perp (AB)\). وبما أنه يمر من المنتصف \(E\)، فهو الموسط العمودي. (4) في الرباعي \(EOFA\)، الزوايا في \(A, E, F\) قائمة (\(90^\circ\))، فهو مستطيل. بما أن \(AE = \frac{1}{2}AB\) و \(AF = \frac{1}{2}AD\) و \(AB=AD\)، فإن \(AE = AF\). مستطيل فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو مربع.