سلسلة: الرباعيات الخاصة

الإصلاح الكامل لتمارين المستطيل، المعين والمربع

التمرين الأول (المستطيل)

\((C)\) دائرة مركزها \(O\) وشعاعها \(R\). \([AC]\) و \([BD]\) قطران للدائرة \((C)\) غير متعامدين.

أثبت أن \(ABCD\) مستطيل.

بما أن \([AC]\) و \([BD]\) قطران للدائرة التي مركزها \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف \([AC]\) و منتصف \([BD]\). بما أن قطري الرباعي \(ABCD\) يتقاطعان في منتصفهما، فإن الرباعي متوازي أضلاع. بما أن \([AC]\) و \([BD]\) قطران لنفس الدائرة، فإن \(AC = BD = 2R\). كل متوازي أضلاع قطراه متقايسان هو مستطيل.
التمرين الثاني (المعين والمربع)

\(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\).

(1) أنشئ \(E\) مماثلة \(B\) بالنسبة للنقطة \(A\) و \(F\) مماثلة \(C\) بالنسبة للنقطة \(A\).

(2) أثبت أن الرباعي \(EFBC\) معين.

(3) كيف يجب رسم المثلث \(ABC\) لكي يكون الرباعي \(EFBC\) مربعاً؟ علل جوابك.

(2) في الرباعي \(EFBC\)، القطران هما \([EB]\) و \([FC]\). بما أن \(A\) هي منتصف \([EB]\) و \([FC]\) (بالتناظر)، فإن الرباعي متوازي أضلاع. بما أن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، فإن القطرين \((EB)\) و \((FC)\) متعامدان. كل متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معين. (3) ليكون المعين \(EFBC\) مربعاً، يجب أن يكون قطراه متقايسين (\(EB = FC\)). هذا يعني أن \(2AB = 2AC\)، أي \(AB = AC\). إذن يجب أن يكون المثلث \(ABC\) قائماً ومتساوي الساقين في \(A\).
التمرين الثالث (تطبيقات المعين)

\(ABCD\) معين بحيث \(AB = 4\text{ cm}\).

(1) أنشئ \(E\) مماثلة \(B\) بالنسبة لـ \(A\) و \(F\) مماثلة \(C\) بالنسبة لـ \(D\).

(2) أثبت أن الرباعي \(AEFD\) معين.

(3) بين أن الرباعي \(BEFC\) متوازي أضلاع.

(4) كيف يجب رسم الرباعي \(ABCD\) لكي يكون الرباعي \(BEFC\) مستطيلاً؟

(2) لدينا \(AE = AB\) و \(DF = DC\) (بالتناظر). بما أن \(ABCD\) معين فإن أضلاعه متقايسة: \(AB = AD = DC\). إذن \(AE = AD = DF\). وبما أن \((AE) \parallel (DF)\) (كلاهما امتداد لضلعي المعين المتوازيين)، فإن \(AEFD\) معين. (3) في الرباعي \(BEFC\)، لدينا \(BE = 2AB\) و \(CF = 2DC\). بما أن \(AB = DC\)، فإن \(BE = CF\). وبما أن \((BE) \parallel (CF)\)، فإن الرباعي \(BEFC\) متوازي أضلاع. (4) ليكون \(BEFC\) مستطيلاً، يجب أن تكون زواياه قائمة، أي \((BE) \perp (BC)\). بما أن \((BE)\) هو نفسه المستقيم \((AB)\)، فيجب أن يكون \(ABCD\) مربعاً (معين بزاوية قائمة).
التمرين الرابع (المربع)

\(ABCD\) مربع مركزه \(O\). \(E\) منتصف \([AB]\) و \(F\) منتصف \([AD]\).

(2) بين أن المستقيم \((OE)\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\).

(4) أ- أثبت أن الرباعي \(EOFA\) مربع. ب- استنتج أن \(OA = EF\).

(2) بما أن \(O\) مركز المربع، فإن \(OA = OB\). إذن \(O\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([AB]\). بما أن \(E\) منتصف \([AB]\)، فإن المستقيم المار من \(O\) و \(E\) هو بالضرورة الموسط العمودي. (4) أ- في الرباعي \(EOFA\)، الزوايا في الرؤوس \(A, E, F\) قائمة (لأن \(ABCD\) مربع و \((OE), (OF)\) موسطات عمودية). بما أن \(AE = \frac{1}{2}AB\) و \(AF = \frac{1}{2}AD\) و \(AB = AD\)، فإن \(AE = AF\). مستطيل فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو مربع. ب- بما أن \(EOFA\) مربع، فإن قطريه متقايسان، إذن \(OA = EF\).