نعتبر مثلثا ACD متقايس الضلعين قمته الرئيسية A و I منتصف القطعة [CD].
1) ابن النقطة B بحيث يكون ABDC متوازي أضلاع.
بما أن ABDC متوازي أضلاع، فإن النقطة B هي صورة A بالإزاحة التي تحول C إلى D.
القطران [AD] و [BC] يتقاطعان في منتصفهما.
2) أ- بين أن ABED متوازي أضلاع (المستقيم من B والموازي لـ AD يقطع CD في E).
لدينا (AB) يوازي (CD) لأن ABDC متوازي أضلاع، وبما أن E تنتمي إلى (CD) فإن (AB) يوازي (DE).
ولدينا من المعطيات (BE) يوازي (AD).
بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان، فإن ABED متوازي أضلاع.
3) أ- بين أن ACFD معين (F مناظرة A بالنسبة لـ I).
بما أن F مناظرة A بالنسبة لـ I، فإن I منتصف [AF].
ولدينا I منتصف [CD] (معطى). القطران لهما نفس المنتصف، إذن ACFD متوازي أضلاع.
بما أن المثلث ACD متقايس الضلعين في A، فإن AC = AD.
متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.
التمرين رقم 10
2) بين أن الرباعي AHCK مستطيل.
لدينا (AH) عمودي على (CD) (ارتفاع). وبما أن (CD) يوازي (AB)، فإن (AH) عمودي على (AB).
ولدينا (CK) عمودي على (AB) (ارتفاع). إذن (AH) يوازي (CK) لأنهما يعامدان نفس المستقيم.
بما أن (AH) يوازي (CK) و (AK) يوازي (HC)، فإن AHCK متوازي أضلاع.
بما أن فيه زاوية قائمة، فهو مستطيل.
3) بين أن AEDC متوازي أضلاع (AE=AB و E لا تنتمي لـ [AB]).
لدينا (AE) يوازي (CD) لأن E تنتمي لـ (AB) و (AB) يوازي (CD).
ولدينا AB = CD (أضلاع متقابلة) و AE = AB (معطى)، إذن AE = CD.
رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع.
التمرين رقم 7
ج) ما هي طبيعة الرباعي ACBD؟ علل جوابك.
[AB] و [CD] قطران في الدائرة، إذن يتقاطعان في مركزهما O ولهما نفس الطول.
بما أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما، فالرباعي متوازي أضلاع.
بما أن القطرين متقايسان ومتعامدان، فإن ACBD مربع.
ب) بين أن OAEC مربع.
لدينا (AE) يوازي (OC) و (CE) يوازي (OA) من المعطيات، إذن OAEC متوازي أضلاع.
بما أن الزاوية AOC قائمة و OA = OC (أنصاف أقطار)، فإن OAEC مربع.
تمرين إضافي (المثلث OAB)
تأمل الشكل حيث OAB مثلث متقايس الأضلاع. C و D مناظرتا A و B بالنسبة لـ O.
1) بين أن الرباعي ABCD مستطيل.
بما أن C و D مناظرتا A و B بالنسبة لـ O، فإن O هي منتصف [AC] و [BD].
إذن القطران لهما نفس المنتصف، فالرباعي ABCD متوازي أضلاع.
بما أن OAB متقايس الأضلاع، فإن OA = OB، وبالتالي AC = BD (لأن القطر هو ضعف الضلع).
متوازي أضلاع قطراه متقايسان هو مستطيل.