1) أرسم متوازي أضلاع $ABCD$ ثم الارتفاع $[AH]$ الصادر من $A$ والموافق للضلع $[CD]$ و الارتفاع $[CK]$.
للرسم:
- نرسم ضلعين متتاليين $AB$ و $AD$.
- نكمل رسم متوازي الأضلاع $ABCD$ حيث $(AB) \parallel (CD)$ و $(AD) \parallel (BC)$.
- نرسم المستقيم المار من $A$ والمعامد لـ $(CD)$ في النقطة $H$.
- نرسم المستقيم المار من $C$ والمعامد لـ $(AB)$ في النقطة $K$.
2) بين أن الرباعي $AHCK$ مستطيل.
لدينا $[AH]$ الارتفاع الموافق لـ $[CD]$ إذن $(AH) \perp (CD)$.
وبما أن $ABCD$ متوازي أضلاع فإن $(CD) \parallel (AB)$، وبالتالي $(AH) \perp (AB)$.
لدينا $[CK]$ الارتفاع الصادر من $C$ والموافق لـ $[AB]$ إذن $(CK) \perp (AB)$.
من هنا نستنتج أن $(AH) \parallel (CK)$ لأنهما يعامدان نفس المستقيم $(AB)$.
بما أن $(AH) \parallel (CK)$ و $(AK) \parallel (HC)$ (لأن $K$ و $H$ ينتميان لضلعي متوازي الأضلاع)، فإن $AHCK$ متوازي أضلاع.
وبما أن فيه زاوية قائمة $\widehat{AHC} = 90^\circ$، فإن $AHCK$ **مستطيل**.
3) عين على $(AB)$ النقطة $E$ بحيث $AE=AB$ و $E$ لا تنتمي إلى $[AB]$. بين أن $AEDC$ متوازي أضلاع.
في الرباعي $AEDC$ لدينا: $(AE) \parallel (CD)$ لأن $E \in (AB)$ و $(AB) \parallel (CD)$ في متوازي الأضلاع $ABCD$.
لدينا $AB = CD$ (ضلعان متقابلان في متوازي أضلاع).
ولدينا $AE = AB$ (معطى).
إذن $AE = CD$.
بما أن الرباعي $AEDC$ له ضلعان متقابلان $[AE]$ و $[CD]$ متوازيان ومتقايسان، فهو **متوازي أضلاع**.
4) عين النقطة $F$ بحيث $A$ منتصف $[FH]$. بين أن $EFBH$ معين.
بما أن $A$ منتصف $[FH]$ فإن $AF = AH$.
بما أن $AHCK$ مستطيل، فإن $AH = CK$ (ضلعان متقابلان).
بما أن $A$ منتصف $[FH]$ و $A$ منتصف $[EB]$ (لأن $AE=AB$ و $E, A, B$ على استقامة واحدة)، فإن القطران $[FH]$ و $[EB]$ لهما نفس المنتصف $A$.
إذن الرباعي $EFBH$ متوازي أضلاع.
وبما أن القطرين $[FH]$ و $[EB]$ متعامدان (لأن $(AH) \perp (AB)$)، فإن متوازي الأضلاع $EFBH$ هو **معين**.