1) أرسم مثلثاً $ACD$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$ و عين $I$ منتصف $[CD]$. ابن النقطة $B$ بحيث يكون الرباعي $ABDC$ متوازي الأضلاع.
بما أن $ACD$ مثلث متقايس الضلعين قمته $A$ فإن $AC = AD$.
بما أن $ABDC$ متوازي أضلاع، فإن النقطة $B$ هي صورة $A$ بالإزاحة التي تحول $C$ إلى $D$.
2) المستقيم المار من $B$ و الموازي لـ $(AD)$ يقطع $(CD)$ في $E$.
أ) بين أن $ABED$ متوازي أضلاع.
لدينا في الرباعي $ABED$: $(AB) \parallel (CD)$ لأن $ABDC$ متوازي أضلاع، و بما أن $E \in (CD)$ فإن $(AB) \parallel (DE)$.
و لدينا من المعطيات $(BE) \parallel (AD)$.
إذن $ABED$ متوازي أضلاع لأن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.
ب) استنتج أن $CD = DE$.
بما أن $ABDC$ متوازي أضلاع فإن $AB = CD$.
وبما أن $ABED$ متوازي أضلاع فإن $AB = DE$.
إذن $CD = DE$.
3) ابن $F$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $I$.
أ) بين أن $ACFD$ معين.
في الرباعي $ACFD$ لدينا: $I$ منتصف $[CD]$ (معطى). $I$ منتصف $[AF]$ (لأن $F$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $I$).
إذن القطران لهما نفس المنتصف، فالرباعي $ACFD$ متوازي أضلاع.
وبما أن $AC = AD$ (مثلث متقايس الضلعين)، فإن $ACFD$ متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان، فهو **معين**.
ب) استنتج أن $B$ و $F$ و $D$ على استقامة واحدة.
لدينا $ABDC$ متوازي أضلاع، إذن $(BD) \parallel (AC)$.
ولدينا $ACFD$ معين (متوازي أضلاع)، إذن $(DF) \parallel (AC)$.
بما أن المستقيمين $(BD)$ و $(DF)$ يمران من $D$ وكلاهما يوازي $(AC)$، فإنهما منطبقان.
إذن النقاط $B$ و $F$ و $D$ على استقامة واحدة.
ت) بين أن $BAI = 90^\circ$.
في المثلث $ACD$ المتقايس الضلعين في $A$، القمة $I$ هي منتصف القاعدة $[CD]$.
إذن المستقيم $(AI)$ هو **الموسط** والموصل المرفوع من $A$.
وبالتالي $(AI) \perp (CD)$.
بما أن $(AB) \parallel (CD)$ (لأن $ABDC$ متوازي أضلاع)، فإن $(AI) \perp (AB)$.
إذن $\widehat{BAI} = 90^\circ$.
4) عين $O$ على $[IE]$ بحيث $IO = AB$. أثبت أن $ABOI$ مستطيل.
لدينا $(AB) \parallel (IE)$ لأن $E \in (CD)$ و $(AB) \parallel (CD)$.
ولدينا $AB = IO$ (معطى).
بما أن في الرباعي $ABOI$ ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، فهو متوازي أضلاع.
وبما أن $\widehat{BAI} = 90^\circ$، فإن متوازي الأضلاع $ABOI$ له زاوية قائمة، فهو **مستطيل**.
5) أرسم النقطة $K$ مناظرة $A$ بالنسبة لـ $D$.
أ) بين أن $ABKF$ مستطيل.
نعلم أن $D$ منتصف $[AK]$ (بالتناظر) و $D$ منتصف $[BF]$ (لأن $BD=CD=DE=DF$ استنتاجاً).
القطران $[AK]$ و $[BF]$ لهما نفس المنتصف $D$ ويتقايسان، إذن $ABKF$ مستطيل.