ليكن $ABC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$. $D$ نقطة من نصف المستقيم $[BC)$ بحيث $BD > BC$.
المستقيم المار من $D$ والموازي للمستقيم $(AB)$ يقطع $(AC)$ في $E$.
المستقيم المار من $D$ والموازي لـ $(AC)$ يقطع $(AB)$ في $F$.
1) بيّن أن $AFDE$ متوازي أضلاع.
لدينا حسب المعطيات:
$(DE) \parallel (AB)$ وبما أن $F \in (AB)$ فإن $(DE) \parallel (AF)$
$(DF) \parallel (AC)$ وبما أن $E \in (AC)$ فإن $(DF) \parallel (AE)$
بما أن في الرباعي $AFDE$ كل ضلعين متقابلين متوازيان،
إذن $AFDE$ هو متوازي أضلاع.
2-أ) لتكن $G$ نقطة من $[FD]$ بحيث $FG = CE$. ما هي طبيعة الرباعي $AGDC$؟
بما أن $AFDE$ متوازي أضلاع، فإن $AE = FD$.
لدينا $G \in [FD]$ و $E \in [AC]$ (لأن $D$ خارج القطعة $[BC]$).
نعلم أن $GD = FD - FG$ و $AC = AE + CE$.
بما أن $(GD) \parallel (AC)$ (من معطيات التوازي في متوازي الأضلاع)،
وحسب المعطيات الجديدة $FG = CE$،
فإن الرباعي $AGDC$ فيه $(GD) \parallel (AC)$ و $GD = AC$ (استنتاج من تساوي القطع).
إذن $AGDC$ متوازي أضلاع.
2-ب) استنتج أن $(CD)$ و $(AG)$ لهما نفس المنحى.
بما أن الرباعي $AGDC$ متوازي أضلاع (حسب السؤال السابق)،
فإن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.
إذن المستقيم $(AG)$ يوازي المستقيم $(CD)$.
وبالتالي فإن للمستقيمين $(CD)$ و $(AG)$ نفس المنحى.
3) لتكن $O$ منتصف $[CG]$، بيّن أن $O$ منتصف $[EF]$.
في متوازي الأضلاع $AGDC$، القطران $[CG]$ و $[AD]$ يتقاطعان في منتصفهما.
بما أن $O$ منتصف $[CG]$، فإن $O$ هي أيضاً منتصف القطر $[AD]$.
وفي متوازي الأضلاع $AFDE$، القطران هما $[AD]$ و $[EF]$.
بما أن $O$ منتصف $[AD]$، وبما أن قطري متوازي الأضلاع يتقاطعان في المنتصف،