سلسلة: الرباعيات الخاصة

الإصلاح الشامل لتمارين المستطيل، المعين والمربع (ثامنة أساسي)

التمرين الأول (المستطيل)

\((C)\) دائرة مركزها \(O\) وشعاعها \(R\). \([AC]\) و \([BD]\) قطران للدائرة \((C)\) غير متعامدين.

أثبت أن \(ABCD\) مستطيل.

بما أن \([AC]\) و \([BD]\) قطران للدائرة التي مركزها \(O\)، فإن \(O\) هي منتصف \([AC]\) و منتصف \([BD]\). بما أن قطري الرباعي \(ABCD\) يتقاطعان في منتصفهما، فإن الرباعي متوازي أضلاع. بما أن القطرين متقايسان \(AC = BD = 2R\) (لأنهما قطران لنفس الدائرة)، فإن متوازي الأضلاع \(ABCD\) هو مستطيل.
التمرين الثاني (المعين والمربع)

\(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\).

(1) أنشئ \(E\) مماثلة \(B\) بالنسبة للنقطة \(A\) و \(F\) مماثلة \(C\) بالنسبة للنقطة \(A\).

(2) أثبت أن الرباعي \(EFBC\) معين.

(3) كيف يجب رسم المثلث \(ABC\) لكي يكون الرباعي \(EFBC\) مربعاً؟ علل جوابك.

(2) في الرباعي \(EFBC\)، القطران هما \([EB]\) و \([FC]\). بما أن \(A\) منتصف \([EB]\) و \([FC]\) (بالتناظر)، فإن الرباعي متوازي أضلاع. بما أن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، فإن القطرين \((EB)\) و \((FC)\) متعامدان. كل متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معين. (3) ليكون المعين \(EFBC\) مربعاً، يجب أن يكون قطراه متقايسان (\(EB = FC\)). بما أن \(EB = 2AB\) و \(FC = 2AC\)، فإن الشرط هو \(AB = AC\). إذن يجب أن يكون المثلث \(ABC\) قائماً ومتساوي الساقين في \(A\).
التمرين الثالث (تطبيقات الرباعيات)

\(ABCD\) معين بحيث \(AB = 4\text{ cm}\).

(1) أنشئ \(E\) مماثلة \(B\) بالنسبة لـ \(A\) و \(F\) مماثلة \(C\) بالنسبة لـ \(D\).

(2) أثبت أن الرباعي \(AEFD\) معين.

(3) بين أن الرباعي \(BEFC\) متوازي أضلاع.

(4) كيف يجب رسم الرباعي \(ABCD\) لكي يكون الرباعي \(BEFC\) مستطيلاً؟

(2) لدينا \(AE = AB\) (بالتناظر) و \(AB = AD\) (لأن \(ABCD\) معين)، إذن \(AE = AD\). كذلك \((AE) \parallel (DF)\) و \(AE = DF = 4\text{ cm}\)، إذن الرباعي معين (أضلاعه متقايسة ومتوازية). (3) في الرباعي \(BEFC\)، لدينا \(BE = 2AB\) و \(CF = 2DC\). بما أن \(AB = DC\)، فإن \(BE = CF\). بما أن \((BE) \parallel (CF)\)، فإن الرباعي هو متوازي أضلاع. (4) ليكون \(BEFC\) مستطيلاً، يجب أن تكون زواياه قائمة، أي \((AB) \perp (BC)\). بما أن \(ABCD\) معين بزاوية قائمة، فيجب أن يكون مربعاً.
التمرين الرابع (المربع)

\(ABCD\) مربع مركزه \(O\). \(E\) منتصف \([AB]\) و \(F\) منتصف \([AD]\).

(2) بين أن المستقيم \((OE)\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\).

(4) أ- أثبت أن الرباعي \(EOFA\) مربع. ب- استنتج أن \(OA = EF\).

(2) بما أن \(O\) مركز المربع، فإن \(OA = OB\). إذن \(O\) تقع على الموسط العمودي لـ \([AB]\). بما أن \(E\) هي منتصف \([AB]\)، فإن المستقيم \((OE)\) هو بالضرورة الموسط العمودي. (4) أ- في الرباعي \(EOFA\)، لدينا الزوايا في الرؤوس \(A, E, F\) قائمة، فهو مستطيل. بما أن \(AE = AF = \frac{1}{2}AB\)، فإن المستطيل الذي فيه ضلعان متتاليان متقايسان هو مربع. ب- في المربع \(EOFA\)، القطران \([OA]\) و \([EF]\) متقايسان، إذن \(OA = EF\).