المستوى: التاسعة أساسي — الإصلاح النموذجي (التمرين 17)
نص المسألة
الشكل التالي یمثل مثلثا \(ABC\) حیث: \(AB = 4\text{ cm}\) ؛ \(BC = 5\text{ cm}\) ؛ \(AC = 6\text{ cm}\) و \(O\) منتصف \([BC]\).
(1) أ- ابن النقطة \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\).
ب- بیّن أنّ الرّباعي \(BACD\) متوازي الأضلاع.
(2) أ- ابن النقطة \(E\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(C\).
ب- بیّن أنّ الرّباعي \(BCEA\) متوازي الأضلاع.
ج- احسب قیس محیط الرباعي \(BCEA\).
(3) لتكن \(I\) منتصف \([AE]\). بیّن أنّ \([OI]\) و \([AC]\) لهما نفس المنتصف.
1) ب- تبيين أنّ \(BACD\) متوازي أضلاع:
لدينا في الرباعي \(ABDC\) (أو \(BACD\) حسب ترتيب النقاط):\(O\) هي منتصف القطر \([BC]\) (معطى).\(O\) هي منتصف القطر \([AD]\) (لأن \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\)).بما أن قطري الرباعي يتقاطعان في منتصفهما، فإن الرباعي متوازي أضلاع.
2) ب- تبيين أنّ \(BCEA\) متوازي أضلاع:
بما أن \(BACD\) متوازي أضلاع، فإن \((AB) \parallel (CD)\) و \(AB = CD\).بما أن \(E\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(C\)، فإن \(C\) منتصف \([DE]\)، ومنه النقط \(D, C, E\) على استقامة واحدة و \(CD = CE\).نستنتج أن \((AB) \parallel (CE)\) و \(AB = CE\).بما أن الرباعي \(BCEA\) فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، فإنه متوازي أضلاع.
3) تبيين أنّ \([OI]\) و \([AC]\) لهما نفس المنتصف:
في المثلث \(ADE\):لدينا \(O\) منتصف \([AD]\) و \(I\) منتصف \([AE]\).حسب قاعدة خط الوسط في مثلث، فإن \((OI) \parallel (DE)\) و \(OI = \frac{DE}{2}\).بما أن \(C\) منتصف \([DE]\)، فإن \(CE = \frac{DE}{2}\)، ومنه \(OI = CE\).وبما أن \(O, I, C, E\) في وضعية توازي، فإن الرباعي \(OICE\) متوازي أضلاع.ملاحظة بديلة: في متوازي الأضلاع \(BCEA\)، القطران يتقاطعان في المنتصف.بما أن \(I\) منتصف \([AE]\) و \(O\) منتصف \([BC]\)، فإن الرباعي \(AOIC\) هو متوازي أضلاع وقطراه \([OI]\) و \([AC]\) يتقاطعان في منتصفهما.