هندسة: رباعيات الأضلاع

المستوى: التاسعة أساسي — تمرين 16

نص التمرين

(وحدة قیس الطول هي الصنتیمتر)

الشكل التالي یمثل مستطیلا \(ABCD\) بحیث: \(AB = 4\) و \(AD = 2\).

(1) أ- ابن النقطتین \(E\) و \(F\) مناظرتي \(A\) و \(C\) على التوالي بالنسبة إلى \(B\).

ب- بیّن أنّ الرّباعي \(ACEF\) معیّن.

ج- استنتج أنّ \(AF = BD\).

د- احسب قیس مساحة المعیّن \(ACEF\).

(2) بیّن أنّ الرّباعي \(ADBF\) متوازي أضلاع.

(3) أ- عیّن النقطة \(M\) من \([AB]\) بحیث \(BM = 2\).

ب- ابن النقطة \(N\) مناظرة \(M\) بالنسبة إلى \(B\).

ج- بیّن أنّ الرّباعي \(CMFN\) مربّع.

1) ب- بیّن أنّ الرّباعي \(ACEF\) معیّن:
لدينا \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(B\)، إذن \(B\) منتصف \([AE]\). لدينا \(F\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(B\)، إذن \(B\) منتصف \([CF]\). بما أن القطرين \([AE]\) و \([CF]\) يتقاطعان في منتصفهما \(B\)، فإن الرباعي \(ACEF\) متوازي أضلاع. لدينا \(ABCD\) مستطيل، إذن المثلث \(ABC\) قائم في \(B\)، ومنه \((AE) \perp (CF)\). كل متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معيّن.
1) ج- استنتاج أنّ \(AF = BD\):
بما أن \(ACEF\) معين، فإن جميع أضلاعه متقايسة، إذن \(AF = AC\). بما أن \(ABCD\) مستطيل، فإن قطريه متقايسان، إذن \(AC = BD\). بالتالي: \(AF = BD\).
1) د- حساب مساحة المعیّن \(ACEF\):
مساحة المعين تساوي \(\frac{d_1 \times d_2}{2}\) حيث \(d_1\) و \(d_2\) هما القطرا. القطر الأول \(AE = 2 \times AB = 2 \times 4 = 8\text{ cm}\). القطر الثاني \(CF = 2 \times BC = 2 \times AD = 2 \times 2 = 4\text{ cm}\). المساحة \(S = \frac{8 \times 4}{2} = 16\text{ cm}^2\).
2) بیّن أنّ الرّباعي \(ADBF\) متوازي أضلاع:
لدينا في المستطيل \((AD) \parallel (BC)\) و \(AD = BC\). بما أن \(F\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(B\)، فإن \(B\) منتصف \([CF]\) وعليه \(BC = BF\). بما أن النقط \(C, B, F\) على استقامة واحدة، فإن \((AD) \parallel (BF)\). الرباعي \(ADBF\) فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان \((AD = BF)\). إذن: \(ADBF\) متوازي أضلاع.
3) ج- بیّن أنّ الرّباعي \(CMFN\) مربّع:
لدينا \(B\) منتصف \([CF]\) و \(B\) منتصف \([MN]\) (بالبناء)، إذن \(CMFN\) متوازي أضلاع. بما أن \((CF) \perp (MN)\) (لأن \((BC) \perp (AB)\))، فهو معين. لدينا \(BC = 2\) و \(BM = 2\)، إذن القطران متقايسان \(CF = MN = 4\). المعين الذي قطراه متقايسان هو مربع.