هندسة: رباعيات الأضلاع

المستوى: التاسعة أساسي — الإصلاح النموذجي

التمرين رقم 15

الشكل التالي یمثل مثلثا \(ABC\) حیث: \(AB = 6 \text{ cm}\) ؛ \(\widehat{ABC} = 70^\circ\) ؛ \(\widehat{BAC} = 55^\circ\) و \(D\) منتصف \([AB]\).

(1) أ- عیّن النقطة \(F\) من \([AC]\) بحیث \(\widehat{ADF} = 70^\circ\).

ب- بیّن أنّ \((DF) \parallel (BC)\).

(2) لتكن \(M\) نقطة من نصف المستقیم \([DF)\) بحیث \(DM = BC\).

أ- بیّن أنّ الرّباعي \(MCBD\) متوازي الأضلاع.

ب- استنتج أن \(MC = AD\) و أن \((MC) \parallel (AD)\).

(3) أ- بیّن أنّ النقطة \(F\) هي منتصف مشترك لـ\([AC]\) و \([MD]\).

ب- استنتج أنّ \(DF = \frac{BC}{2}\).

(4) لتكن \(L\) نقطة تقاطع المستقیمين \((CM)\) و \((BF)\).

أ- بیّن أنّ \(L\) و \(B\) متناظرتان بالنسبة إلى \(F\).

ب- بیّن أنّ \(ALCB\) معیّن.

1) ب- تبیین أنّ \((DF) \parallel (BC)\):
لدينا في المثلث \(ABC\): \(\widehat{ABC} = 70^\circ\). ولدينا حسب المعطيات: \(\widehat{ADF} = 70^\circ\). نلاحظ أن الزاويتين \(\widehat{ABC}\) و \(\widehat{ADF}\) هما زاويتان متماثلتان بالنسبة للمستقيمين \((DF)\) و \((BC)\) والقاطع \((AB)\). بما أن الزاويتين المتماثلتين متقايستان، فإن المستقيمين متوازيان. إذن: \((DF) \parallel (BC)\).
2) أ- تبیین أنّ \(MCBD\) متوازي الأضلاع:
لدينا من السؤال السابق \((DF) \parallel (BC)\). بما أن \(M\) تنتمي إلى \([DF)\)، فإن \((DM) \parallel (BC)\). ولدينا من المعطيات \(DM = BC\). رباعي محدب فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع. إذن: \(MCBD\) متوازي أضلاع.
2) ب- استنتاج أن \(MC = AD\) و \((MC) \parallel (AD)\):
بما أن \(MCBD\) متوازي أضلاع، فإن \((MC) \parallel (DB)\) و \(MC = DB\). بما أن \(D\) منتصف \([AB]\)، فإن النقط \(A, D, B\) على استقامة واحدة و \(AD = DB\). إذن بالتعويض: \(MC = AD\). وبما أن \((AD)\) و \((DB)\) هما نفس المستقيم، فإن \((MC) \parallel (AD)\).
3) أ- تبیین أنّ \(F\) هي منتصف مشترك لـ\([AC]\) و \([MD]\):
من السؤال (2-ب) لدينا \((MC) \parallel (AD)\) و \(MC = AD\). إذن الرباعي \(ADMC\) هو متوازي أضلاع. في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفهما. القطران هما \([AC]\) و \([MD]\). بما أن \(F\) هي نقطة تقاطعهما (حسب الرسم والمعطيات)، فإن \(F\) هي منتصف مشترك لهما.
3) ب- استنتاج أنّ \(DF = \frac{BC}{2}\):
بما أن \(F\) منتصف \([MD]\)، فإن \(DF = \frac{DM}{2}\). وبما أن \(DM = BC\) (معطى في السؤال 2)، فإن \(DF = \frac{BC}{2}\).
4) ب- تبیین أنّ \(ALCB\) معيّن:
أولاً، الرباعي \(ALCB\) هو متوازي أضلاع لأن قطريه يتقاطعان في منتصفهما \(F\). لحساب الزوايا: في المثلث \(ABC\)، \(\widehat{ACB} = 180 - (70 + 55) = 55^\circ\). بما أن \(\widehat{BAC} = \widehat{BCA} = 55^\circ\)، فإن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(B\)، أي \(BA = BC\). متوازي أضلاع به ضلعان متتاليان متقايسان هو معين. إذن: \(ALCB\) معيّن.