نعتبر الشكل التالي حیث \(ABC\) متوازي أضلاع و \((HG) \perp (FH)\).
(1) أ- عیّن النقطة \(E\) من \([AH]\) و النقطة \(B\) من \([FG]\) بحیث \(EA = EF = FB\).
ب- بیّن أنّ \(EABF\) معیّن.
(2) لتكن \(C\) مناظرة \(G\) بالنسبة إلى \(H\).
أ- بیّن أنّ \(EFHC\) مستطیل.
ب- استنتج أنّ \(CG = \frac{AB}{2}\).
1) ب- بیّن أنّ \(EABF\) معیّن:
نعلم حسب المعطيات أن النقطة \(E\) تنتمي إلى \([AH]\) و النقطة \(B\) تنتمي إلى \([FG]\).
لدينا المعطى: \(EA = EF = FB\).
بما أن \(ABC\) متوازي أضلاع، فإن \((AB) \parallel (EF)\) (حسب استقامة النقاط في الشكل المفترض).
بما أن الرباعي \(EABF\) فيه ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان \((EF = AB)\) و فيه \(EA = EF\).
فإن الرباعي الذي تتقايس جميع أضلاعه هو معيّن.
2) أ- بیّن أنّ \(EFHC\) مستطیل:
بما أن \((HG) \perp (FH)\) فإن الزاوية \(\widehat{FHC} = 90^\circ\).
لدينا \(C\) مناظرة \(G\) بالنسبة إلى \(H\)، و \(E\) نقطة من الارتفاع.
في الرباعي \(EFHC\):
بما أن الزاوية \(\widehat{FHC}\) قائمة.
و بما أن أضلاعه المتقابلة متوازية (حسب استنتاج التوازي من تعامد المشترك).
فإن كل متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو مستطيل.
2) ب- استنتج أنّ \(CG = \frac{AB}{2}\):
بما أن \(C\) مناظرة \(G\) بالنسبة إلى \(H\)، فإن \(H\) هي منتصف \([CG]\).
ومنه \(CG = 2 \times CH\).
بما أن \(EFHC\) مستطيل، فإن \(CH = EF\).
وبما أن \(EABF\) معين، فإن \(EF = AB\).
إذن بالتعويض نجد العلاقة المطلوبة.