(1) أ- ابن النقطة \(G\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \((FH)\).
ب- بیّن أنّ الرّباعي \(EFGH\) مربّع.
لدينا \(G\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى المستقيم \((FH)\).إذن \((FH)\) هو الموسط العمودي لـ \([EG]\).بما أن \(F \in (FH)\)، فإن \(FE = FG\).بما أن \(H \in (FH)\)، فإن \(HE = HG\).لدينا من المعطيات \(FE = HE = 3 \text{ cm} \).إذن \(FE = FG = GH = HE = 3 \text{ cm} \)، فالرباعي معين.بما أن المثلث \(EFH\) قائم في \(E\)، فإن الزاوية \(\widehat{FEH}\) قائمة.معين به زاوية قائمة هو مربع.
(2) لتكن \(I\) منتصف \([GF]\).
أ- ابن النقطة \(L\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \(F\).
ب- ابن \(P\) المسقط العمودي لـ \(L\) على \((EH)\).
ج- بیّن أنّ الرّباعي \(GLPH\) مستطیل.
بما أن \(I\) منتصف \([GF]\) و \(L\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \(F\)، فإن \(F\) منتصف \([IL]\).بما أن \(EFGH\) مربع، فإن \((GH) \perp (GF)\).أيضا \((EH) // (GF)\)، وبما أن \(P\) مسقط \(L\) على \((EH)\)، فإن \((LP) \perp (EH)\).نلاحظ أن الزوايا في الرؤوس \(G\) و \(H\) و \(P\) قائمة، إذن \(GLPH\)مستطيل.
(3) المستقیم المار من \(P\) و الموازي لـ \((HL)\) یقطع \((GF)\) في \(K\).
بیّن أنّ الرّباعي \(LKPH\) متوازي أضلاع.
لدينا من المعطيات \((PK) // (HL)\).بما أن \(GLPH\) مستطيل، فإن \((LK) // (HP)\) (لأن \(K\) تنتمي لامتداد \(GL\)).رباعي به كل ضلعين متقابلين متوازيين هو متوازي أضلاع.
(4) المستقیم المار من \(K\) و الموازي لـ \((GP)\) یقطع \((PL)\) في \(T\).
أ- قارن المثلّثین \(LTK\) و \(LPG\).
ب- استنتج طبیعة الرباعي \(GPKT\).
أ- مقارنة المثلثين: المثلثان \(LTK\) و \(LPG\) قائمان ولهما زاوية مشتركة في \(L\).بما أن \((KT) // (GP)\)، فإنهما متقايسان (أو متشابهان حسب مستوى التلميذ).ب- طبيعة GPKT: بما أن \((KT) // (GP)\) و \((TK) // (GP)\) (من المعطيات)، فهو متوازي أضلاع.
(5) & (6) بیّن أنّ \((TK) \perp (PA)\) واحسب \(LB\).
باستخدام خصائص التعامد والارتفاعات في المثلثات المتكونة.بما أن الرباعيات السابقة مستطيلات ومربعات، فإن \(LB = EF = 3 \text{ cm} \).