(1) أ- ابن \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([AC]\).
ب- الدائرة \(\zeta\) التي مركزھا \(A\) و شعاعھا \( 5 \text{ cm} \) تقطع \(\Delta\) في نقطتین \(B\) و \(D\).
ج- بیّن أنّ الرّباعي \(ABCD\) معيّن.
لدينا \(\Delta\) هو الموسط العمودي لـ \([AC]\).بما أن \(B \in \Delta\)، فإن \(BA = BC\).وبما أن \(D \in \Delta\)، فإن \(DA = DC\).من جهة أخرى، \(B\) و \(D\) ينتميان إلى الدائرة \(\zeta\) التي مركزها \(A\) وشعاعها \( 5 \text{ cm} \).إذن: \(AB = AD = 5 \text{ cm} \).بالتالي: \(AB = BC = CD = DA\).بما أن أضلاع الرباعي \(ABCD\) الأربعة متقايسة، فهو معيّن.
(2) أ- عیّن \(O\) نقطة تقاطع \([AC]\) و \([DB]\).
ب- عیّن النقطة \(I\) منتصف \([AB]\).
ج- ابن النقطة \(E\) مناظرة \(O\) بالنسبة إلى \(I\).
\(O\) هي مركز المعيّن \(ABCD\)، فهي منتصف قطريه \([AC]\) و \([BD]\).بما أن \(E\) مناظرة \(O\) بالنسبة إلى \(I\)، فإن \(I\) هي منتصف \([OE]\).
(3) أ- بیّن أنّ \(AOBE\) مستطیل.
ب- احسب \(OE\).
ج- بیّن أنّ \(BCOE\) متوازي أضلاع.
أ- تبيان أن AOBE مستطيل: في الرباعي \(AOBE\)، لدينا \(I\) منتصف \([AB]\) (معطى).و \(I\) منتصف \([OE]\) (لأن \(E\) مناظرة \(O\) بالنسبة إلى \(I\)).إذن قطرا الرباعي يتقاطعان في منتصفهما، فهو متوازي أضلاع.وبما أن قطرِي المعيّن \(ABCD\) متعامدان في \(O\)، فإن الزاوية \(\widehat{AOB}\) قائمة.متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو مستطيل. ب- حساب OE: بما أن \(AOBE\) مستطيل، فإن قطريه متقايسان: \(OE = AB\).بما أن \(B\) تنتمي للدائرة \(\zeta\) التي شعاعها \( 5 \text{ cm} \)، فإن \(AB = 5 \text{ cm} \).إذن: \(OE = 5 \text{ cm} \). ج- تبيان أن BCOE متوازي أضلاع: نعلم أن \(AOBE\) مستطيل، إذن \((BE) // (AO)\) و \(BE = AO\).بما أن \(O\) منتصف \([AC]\)، فإن \(AO = OC\).بالتالي \((BE) // (OC)\) و \(BE = OC\).رباعي به ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع.