(1) أ- قارن المثلثين \(ADH\) و \(BCK\) (حيث \(H\) و \(K\) المسقطين العموديين لـ \(A\) و \(B\) على \((DC)\)). ب- استنتج أنّ \(HK = DC\).
أ- مقارنة المثلثين \(ADH\) و \(BCK\):
لدينا \(ADH\) مثلث قائم في \(H\) و \(BCK\) مثلث قائم في \(K\).
- الوتران متقايسان: \(AD = BC\) (لأن \(ABCD\) متوازي أضلاع).
- الزاويتان \(\widehat{ADH}\) و \(\widehat{BCK}\) متقايستان (لأنهما زاويتان متماثلتان ناتجان عن تقاطع المستقيم \((DC)\) مع المتوازيين \((AD)\) و \((BC)\)).
إذن، المثلثان \(ADH\) و \(BCK\) متقايسان. ب- استنتاج \(HK = DC\):
من تقايس المثلثين نستنتج أن \(DH = CK\).
لدينا \(HK = HC + CK\).
بما أن \(CK = DH\)، فإن \(HK = HC + DH = DC\).
إذن \(HK = DC\).
(2) لتكن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(M\). بيّن أنّ الرباعي \(ABEC\) متوازي أضلاع.
في الرباعي \(ABEC\)، لدينا:
- \(M\) منتصف القطر \([AE]\) (لأن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(M\)).
- \(M\) منتصف القطر \([BC]\) (معطى).
بما أن القطرين لهما نفس المنتصف \(M\)، فإن الرباعي \(ABEC\) هو متوازي أضلاع.
(3) المستقيمان \((EB)\) و \((AD)\) يتقاطعان في النقطة \(F\). بيّن أنّ الرباعي \(ACBF\) مستطيل.
- بما أن \(ABEC\) متوازي أضلاع، فإن \((BE) // (AC)\)، وبما أن \(F \in (EB)\)، فإن \((BF) // (AC)\).
- بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع، فإن \((BC) // (AD)\)، وبما أن \(F \in (AD)\)، فإن \((BC) // (AF)\).
إذن \(ACBF\) متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متوازية).
وبما أن \((AD) \perp (AC)\) (معطى)، وبما أن \(F \in (AD)\)، فإن \((AF) \perp (AC)\).
متوازي أضلاع له زاوية قائمة هو مستطيل.
(4) احسب قيس مساحة الرباعي \(BCDF\).
الرباعي \(BCDF\) هو شبه منحرف لأن \((BF) // (CD)\) (بما أن \((BF)//(AC)\) و \((AC)\) ليس بالضرورة موازي لـ \((CD)\) - يرجى التثبت من الرسم).
لكن الأدق: \(BCDF\) يتكون من المثلث \(ADC\) والمستطيل \(ACBF\).
- مساحة المثلث القائم \(ADC\):
\[ \mathcal{A}_1 = \frac{AC \times AD}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = 6 \text{ cm}^2 \]
- في المستطيل \(ACBF\)، المساحة هي:
\[ \mathcal{A}_2 = AC \times BC \]
بما أن \(BC = AD = 4\)، فإن \(\mathcal{A}_2 = 3 \times 4 = 12 \text{ cm}^2\).
- المساحة الجملية لـ \(BCDF\):
بما أن \(F, A, D\) على استقامة واحدة، فإن \(BCDF\) هو شبه منحرف قائم في \(A\).
\[ \mathcal{A} = \mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2 = 6 + 12 = 18 \text{ cm}^2 \]