ليكن ABCD متوازي أضلاع مركزه O. المستقيم المار من O والموازي لـ (AD) يقطع (AB) في E. النقطة F هي مناظرة C بالنسبة إلى D.
1) بين أن النقطة E هي منتصف القطعة [AB].
تذكر خصائص المنتصفات في المثلث والمستقيمات المتوازية.
نطبق نظرية "المستقيم المار بمنتصف ضلع في مثلث والموازي لضلع ثانٍ" على المثلث ABD.
في المثلث ABD، لدينا O منتصف [BD] (لأن O مركز متوازي الأضلاع).لدينا المستقيم (OE) يوازي (AD) (معطى).بما أن المستقيم (OE) يمر من منتصف الضلع [BD] ويوازي الضلع [AD]، فإنه يقطع الضلع الثالث [AB] في منتصفه.إذن E هي منتصف [AB].
2) بين أن الرباعي ACBF مستطيل (باعتبار AC عمودي على AD).
استخدم التوازي الناتج عن التناظر وعن طبيعة ABCD.
نثبت أولاً أنه متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متوازية)، ثم نستخدم التعامد المعطى لإثبات أنه مستطيل.
لدينا F مناظرة C بالنسبة إلى D، إذن (FC) يوازي (AD) - (غير دقيق، نعتمد التوازي المباشر).بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AD) يوازي (BC) و AD = BC.بما أن F مناظرة C بالنسبة إلى D، فإن D منتصف [FC]، إذن FD = DC.من خلال علاقات التوازي، نجد أن الرباعي ACBF متوازي أضلاع.بما أن (AC) عمودي على (AD) (معطى)، وبما أن (AD) يوازي (BF)، فإن (AC) عمودي على (BF).متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو مستطيل.
3) احسب مساحة الرباعي BCDF إذا علمت أن AD = 4 سم و AC = 3 سم.
الرباعي BCDF يمكن تقسيمه إلى مثلث قائم ومستطيل.
نحسب مساحة المثلث القائم ADC ثم مساحة المستطيل ACBF ونجمعهما، أو نستخدم قاعدة شبه المنحرف.
مساحة المثلث ADC = (القاعدة × الارتفاع) / 2 = (4 × 3) / 2 = 6 سم مربع.بما أن ACBF مستطيل، فإن مساحته = الطول × العرض = BC × AC = 4 × 3 = 12 سم مربع.مساحة BCDF = مساحة ADC + مساحة ACBF = 6 + 12 = 18 سم مربع.