ليكن ABCD مستطيلاً. المستقيم (دلتا) هو الموسط العمودي للقطر [BD]، يقطع (AB) في E و (CD) في F.
1) بين أن الرباعي BEDF معين.
بما أن (AB) يوازي (CD)، ابحث عن الربط بين الموسط العمودي وتناصف الأقطار.
نثبت أولاً أن الرباعي متوازي أضلاع (عبر توازي ضلعين وتقايسهما أو تناصف الأقطار)، ثم نستغل تعامد الموسط العمودي لإثبات أنه معين.
لتكن O نقطة تقاطع الموسط العمودي (دلتا) مع [BD]. إذن O هي منتصف [BD].بما أن (AB) يوازي (CD)، فإن الزاويتين المتبادلتين داخلياً الناتجتين عن القاطع (EF) متساويتان.من خلال تقايس المثلثين OEB و OFD، نجد أن OE = OF، إذن O هي منتصف [EF].الرباعي BEDF أقطاره يتقاطعان في منتصفهما O، فهو متوازي أضلاع.بما أن (EF) هو الموسط العمودي لـ [BD]، فإن القطرين (EF) و (BD) متعامدان.متوازي أضلاع قطراه متعامدان هو معين.
2) إذا علمت أن مساحة المستطيل تساوي 48 سم مربع، ومساحة المعين تساوي 20 سم مربع، احسب مساحة المثلثين ADE و BCF.
المستطيل يتكون من المعين والمثلثات الجانبية. استفد من التناظر.
مساحة الأجزاء المتبقية من المستطيل بعد طرح المعين تمثل مجموع مساحات المثلثات ADE و BCF. المثلثان متقايسان، لذا مساحتهما متساوية.
مساحة المثلثين معاً = مساحة المستطيل ABCD - مساحة المعين BEDF.مساحة (ADE + BCF) = 48 - 20 = 28 سم مربع.بما أن الرباعي BEDF معين و ABCD مستطيل، فإن المثلثين ADE و BCF متقايسان (بالتناظر المركزي بالنسبة لـ O).إذن مساحة المثلث الواحد = 28 قسمة 2 = 14 سم مربع.النتيجة: مساحة ADE تساوي 14 سم مربع، ومساحة BCF تساوي 14 سم مربع.