المعطيات: مثلث ACD متقايس الضلعين في A، النقطة I منتصف [CD]. النقطة F مناظرة A بالنسبة إلى I.
بين أن الرباعي ACFD معين.
تذكر أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما واستخدم خاصية الضلعين المتقايسين في المثلث.
نثبت أولاً أنه متوازي أضلاع (القطران لهما نفس المنتصف)، ثم نثبت وجود ضلعين متتاليين متقايسين.
لدينا I منتصف [CD] (معطى).ولدينا I منتصف [AF] لأن F مناظرة A بالنسبة إلى I.بما أن القطرين لهما نفس المنتصف، فإن الرباعي ACFD متوازي أضلاع.وبما أن المثلث ACD متقايس الضلعين في A، فإن البعد AC = AD.بما أن ACFD متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان، فهو معين.
التمرين 2: شبه المنحرف والمربع
المعطيات: ABCD شبه منحرف قائم في A و D. الضلعان AB = AD = 4 سم و CD = 8 سم. H هي المسقط العمودي لـ B على (CD).
بين أن الرباعي ABHD مربع.
ابحث عن الزوايا القائمة الثلاث في الرباعي.
نثبت أنه مستطيل عبر الزوايا القائمة، ثم نحوله لمربع بإثبات تقايس الضلعين المتتاليين.
الزاوية DAB قائمة والزاوية ADH قائمة (لأن شبه المنحرف قائم في A و D).الزاوية BHD قائمة لأن H هي المسقط العمودي لـ B على (CD).الرباعي ABHD فيه 3 زوايا قائمة فهو مستطيل.بما أن البعد AB = AD (معطى)، فإن المستطيل الذي له ضلعان متتاليان متقايسان هو مربع.
التمرين 3: المثلث والموسطات
المعطيات: مثلث ABC متقايس الأضلاع. I منتصف [BC] و O منتصف [AC]. G هي نقطة تقاطع (AI) و (BO).
بين أن النقطة G هي مركز ثقل المثلث ABC.
تذكر تعريف مركز الثقل كنقطة تقاطع الموسطات.
نعرف المستقيمات (AI) و (BO) كموسطات بناءً على المنتصفات المعطاة، ثم نستنتج طبيعة نقطة تقاطعها.
في المثلث ABC، لدينا I منتصف [BC]، إذن المستقيم (AI) هو الموسط الصادر من A.ولدينا O منتصف [AC]، إذن المستقيم (BO) هو الموسط الصادر من B.بما أن النقطة G هي نقطة تقاطع الموسطين (AI) و (BO)، فهي إذن مركز ثقل المثلث ABC.
التمرين 4: المثلث القائم والمعين
المعطيات: مثلث ABC قائم في A. I منتصف [BC]. D مناظرة A بالنسبة إلى I. B منتصف [AE].
بين أن الرباعي ADEM معين. (باعتبار B منتصف القطرين)
استخدم نتائج التناظر والمنتصفات لإثبات تقايس الأضلاع.
نثبت أنه متوازي أضلاع أولاً عبر القطرين، ثم نثبت تقايس ضلعين متتاليين (DA = DE).
لدينا B منتصف [AE] و B منتصف [DM] (معطى).بما أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما B، فإن ADEM متوازي أضلاع.من خلال دراسة المثلث ADE، نجد أن المستقيم (AB) هو الموسط والارتفاع في آن واحد.إذن المثلث ADE متقايس الضلعين في D، أي أن DA = DE.متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.