$ACD$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$ و $I$ منتصف $[CD]$. $B$ نقطة بحيث $ABDC$ متوازي أضلاع.
بين أن $ACFD$ معين (حيث $F$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$).
تذكر أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما واستخدم تقايس الضلعين $AC = AD$.
لإثبات أن الرباعي معين: نثبت أنه متوازي أضلاع أقطاره متناصفة، ثم نضيف شرط تقايس ضلعين متتاليين.
لدينا $I$ منتصف $[CD]$ (معطى).
ولدينا $I$ منتصف $[AF]$ لأن $F$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$.
إذن $ACFD$ متوازي أضلاع.
وبما أن المثلث $ACD$ متقايس الضلعين في $A$ فإن $AC = AD$.
متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.
التمرين 2: شبه المنحرف والمربع
$ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$ و $D$ حيث $AB = AD = 4$ و $CD = 8$. $H$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(CD)$.
بين أن $ABHD$ مربع.
ابحث عن الزوايا القائمة في $A$، $D$ و $H$.
المربع هو مستطيل (3 زوايا قائمة) له ضلعان متتاليان متقايسان.
في الرباعي $ABHD$: لدينا $\widehat{A} = 90^\circ$ و $\widehat{D} = 90^\circ$ (شبه منحرف قائم).
لدينا $\widehat{H} = 90^\circ$ (مسقط عمودي).
إذن $ABHD$ مستطيل.
بما أن $AB = AD = 4$ (ضلعان متتاليان متقايسان)، فإن $ABHD$مربع.
التمرين 3: المثلث القائم والمستطيل
$ABC$ مثلث قائم في $B$ و $O$ منتصف $[AB]$. $D$ مناظرة $C$ بالنسبة إلى $O$. $E$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $A$.
بين أن $BAEC$ مستطيل.
استخدم توازي الأضلاع في $ACBD$ لنقل الخصائص إلى $BAEC$.
نثبت أولاً أنه متوازي أضلاع (ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان) ثم نثبت وجود زاوية قائمة.
بما أن $ACBD$ متوازي أضلاع فإن $(AD) \parallel (BC)$ و $AD = BC$.
لدينا $E$ مناظرة $D$ بالنسبة إلى $A$ يعني $A$ منتصف $[DE]$، إذن $AD = AE$.
بالتالي $(AE) \parallel (BC)$ و $AE = BC$.
الرباعي $BAEC$ متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة $\widehat{ABC}=90^\circ$.
إذن $BAEC$مستطيل.