ليكن $ACD$ مثلثاً متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$. $I$ منتصف $[CD]$. $B$ نقطة بحيث $ABDC$ متوازي أضلاع.
1) بين أن $ACFD$ معين (حيث $F$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$).
تذكر أن القطرين يتقاطعان في منتصفهما وأن $AC = AD$.
لإثبات أن الرباعي معين: نثبت أولاً أنه متوازي أضلاع (القطران لهما نفس المنتصف)، ثم نثبت أن له ضلعان متتاليان متقايسان.
في الرباعي $ACFD$:
لدينا $I$ منتصف $[CD]$ (معطى).
ولدينا $I$ منتصف $[AF]$ لأن $F$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $I$.
إذن $ACFD$ متوازي أضلاع.
وبما أن المثلث $ACD$ متقايس الضلعين في $A$ فإن $AC = AD$.
متوازي أضلاع له ضلعان متتاليان متقايسان هو معين.
تمرين شبه المنحرف القائم (المربع)
$ABCD$ شبه منحرف قائم في $A$ و $D$ حيث $AB = AD = 4$ و $CD = 8$. $H$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(CD)$.
1) بين أن $ABHD$ مربع.
ابحث عن الزوايا القائمة الناتجة عن الارتفاع والقائم في $A$ و $D$.
نثبت أنه مستطيل (3 زوايا قائمة) ثم نثبت تقايس ضلعين متتاليين ليصبح مربعاً.
لدينا $\widehat{DAB} = 90^\circ$ و $\widehat{ADH} = 90^\circ$ (شبه منحرف قائم).
ولدينا $\widehat{BHD} = 90^\circ$ (لأن $H$ مسقط عمودي).
إذن $ABHD$ مستطيل.
وبما أن $AB = AD = 4$ (ضلعان متتاليان متقايسان)، فإن $ABHD$مربع.
تمرين المثلث ABC (الموسطات)
$ABC$ مثلث متقايس الأضلاع، $I$ منتصف $[BC]$ و $O$ منتصف $[AC]$. $H$ مناظرة $I$ بالنسبة إلى $O$.
1) بيّن أن الرباعي $AHCI$ مستطيل.
استخدم خاصية أن الموسط في المثلث متقايس الأضلاع هو أيضاً ارتفاع.
نثبت أنه متوازي أضلاع عبر القطرين، ثم نثبت وجود زاوية قائمة.
لدينا $O$ منتصف $[AC]$ و $O$ منتصف $[IH]$ (بالتناظر)، إذن $AHCI$ متوازي أضلاع.
بما أن $ABC$ متقايس الأضلاع و $I$ منتصف $[BC]$، فإن $(AI)$ هو الموسط الصادر من $A$.
في المثلث متقايس الأضلاع، الموسط هو ارتفاع، إذن $(AI) \perp (BC)$ أي $\widehat{AIC} = 90^\circ$.
إذن $AHCI$مستطيل.