ABC مثلث متقايس الأضلاع. F مناظرة A بالنسبة إلى (BC). D و E مناظرتا B و C بالنسبة إلى A.
2) أ- بيّن أنّ الرباعي ABFC معيّن.
تذكر خصائص التناظر المحوري بالنسبة للمسافات، وخصائص المثلث متقايس الأضلاع.
لإثبات أن رباعياً معين، يمكننا إثبات أن جميع أضلاعه متقايسة.
بما أن F مناظرة A بالنسبة إلى (BC) فإن (BC) هو الموسط العمودي لـ [AF].
بما أن B \in (BC) فإن AB = FB.
بما أن C \in (BC) فإن AC = FC.
بما أن ABC مثلث متقايس الأضلاع فإن AB = AC = BC.
بالتالي: AB = AC = CF = FB.
إذن الرباعي ABFC معين.
2) ب- بيّن أنّ الرباعي BCDE مستطيل.
انظر إلى منتصفي القطرين [BD] و [CE] وأطوالهما.
الرباعي الذي قطراه لهما نفس المنتصف ومتقايسان هو مستطيل.
لدينا D مناظرة B بالنسبة إلى A يعني A منتصف [BD].
لدينا E مناظرة C بالنسبة إلى A يعني A منتصف [CE].
بما أن القطرين [BD] و [CE] يتقاطعان في منتصفهما A فإن BCDE متوازي أضلاع.
بما أن AB = AC فإن 2AB = 2AC أي BD = CE.
متوازي أضلاع قطراه متقايسان هو مستطيل، إذن BCDE مستطيل.
تمرين رقم 2 (المستطيل ومتوازي الأضلاع)
ABC مثلث متقايس الأضلاع، I منتصف [BC] و O منتصف [AC]. H مناظرة I بالنسبة إلى O.
1) بيّن أن الرباعي AHCI مستطيل.
تذكر علاقة الموسط في المثلث متقايس الأضلاع بالزاوية القائمة.
نثبت أولاً أنه متوازي أضلاع (القطران) ثم نثبت وجود زاوية قائمة.
في الرباعي AHCI: لدينا O منتصف [AC] (معطى) و O منتصف [IH] (بالتناظر المركزي).
إذن AHCI متوازي أضلاع.
بما أن ABC متقايس الأضلاع و I منتصف [BC] فإن (AI) هو موسط وارتفاع، إذن (AI) \perp (BC).
بالتالي \widehat{AIC} = 90^\circ.
متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو مستطيل، إذن AHCI مستطيل.
تمرين رقم 3 (متوازي الأضلاع)
ABC مثلث، O منتصف [BC]، D مناظرة A بالنسبة إلى O.
1) ب- بيّن أنّ الرّباعي BACD متوازي أضلاع.
ركز على القطرين [BC] و [AD] ونقطة تقاطعهما.
إذا كان قطرا رباعي يتقاطعان في منتصفهما، فإنه متوازي أضلاع.
لدينا O منتصف [BC] (معطى).
لدينا O منتصف [AD] لأن D مناظرة A بالنسبة إلى O (تناظر مركزي).
في الرباعي BACD، القطران [BC] و [AD] لهما نفس المنتصف O.
إذن الرباعي BACD هو متوازي أضلاع.