تمارين شاملة — القوى في مجموعة الأعداد الكسرية (مع تصحيح مفصل مخفي)

\(A=\left(\dfrac{4}{7}\right)^3\times\left(\dfrac{4}{7}\right)^{-12}\)

نفس أساس \(\Rightarrow\) نجمع أسس: \(3+(-12)=-9\).
\(A=\left(\dfrac{4}{7}\right)^{-9}=\left(\dfrac{7}{4}\right)^9\).

النتيجة: \(\boxed{\left(\dfrac{4}{7}\right)^{-9}}\) (أو \(\boxed{\left(\dfrac{7}{4}\right)^9}\))

\(B=\left[\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{-5}\right]^{-3}\times\dfrac{25}{9}\)

\(\left[\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{-5}\right]^{-3}=\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{15}\).
\(\dfrac{25}{9}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^2\).
\(\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{15}\times\left(\dfrac{5}{3}\right)^2 =(-1)^{15}\left(\dfrac{5}{3}\right)^{17}= -\left(\dfrac{5}{3}\right)^{17}\).

النتيجة: \(\boxed{-\left(\dfrac{5}{3}\right)^{17}}\)

\(C=\dfrac{9^{5}\times81\times4^{-3}}{(2^{-2})^{-5}\times2^{-2}}\)

\(9^5=(3^2)^5=3^{10}\) و\(81=3^4\Rightarrow 9^5\times81=3^{14}\).
\(4^{-3}=(2^2)^{-3}=2^{-6}\).
\((2^{-2})^{-5}=2^{10}\) ثم \(2^{10}\times2^{-2}=2^8\).
\(C=\dfrac{3^{14}\times2^{-6}}{2^8}=\dfrac{3^{14}}{2^{14}}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{14}\).

النتيجة: \(\boxed{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{14}}\)

\(E=\dfrac{x^2\,(x^{-2}y^{3})^{-2}\,y^5}{x^3\,(xy^2)^3}\)

\((x^{-2}y^3)^{-2}=x^{4}y^{-6}\).
البسط: \(x^2\cdot x^4=x^6\) و\(y^{-6}\cdot y^5=y^{-1}\) \(\Rightarrow\) البسط \(=x^6y^{-1}\).
المقام: \(x^3(xy^2)^3=x^3\cdot x^3y^6=x^6y^6\).
\(E=\dfrac{x^6y^{-1}}{x^6y^6}=y^{-7}=\dfrac{1}{y^7}\).

النتيجة: \(\boxed{E=\dfrac{1}{y^7}}\)

\(F=-a^{-2}b\quad,\quad E=\dfrac{(a^{-1}\times b^{-2})^{-1}}{a^{-1}\times(-b)^3}\)

\((a^{-1}b^{-2})^{-1}=ab^{2}\).
\(a^{-1}(-b)^3=a^{-1}\cdot(-1)^3b^3=-a^{-1}b^3\).
\(E=\dfrac{ab^2}{-a^{-1}b^3}=-a^2b^{-1}\).
\(E\cdot F=(-a^2b^{-1})\cdot(-a^{-2}b)=1\Rightarrow E\) و\(F\) مقلوبان.
إذا \(a=-1\) و\(b=-2^{-2}=-(\frac{1}{4})=-\frac14\):
\(E=-a^2b^{-1}=-(1)\cdot(-4)=4\), و\(F=-a^{-2}b=-(1)\cdot(-\frac14)=\frac14\).

النتائج: \(\boxed{E=-a^2b^{-1}}\), \(\boxed{E\cdot F=1}\), ومع القيم \(\boxed{E=4}\) و\(\boxed{F=\dfrac14}\).

1) احسب: \(a=\left[(-1)^{79}+(-2)^2\right]^{-2}\) و \(b=-2\times(-3)^{-2}-(-3)^2\)

\((-1)^{79}=-1\), و\((-2)^2=4\Rightarrow داخل القوس \(=3\Rightarrow a=3^{-2}=\dfrac{1}{9}\).
\((-3)^{-2}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow -2\times\dfrac{1}{9}=-\dfrac{2}{9}\) و\((-3)^2=9\Rightarrow b=-\dfrac{2}{9}-9=-\dfrac{83}{9}\).

النتائج: \(\boxed{a=\dfrac19}\) و\(\boxed{b=-\dfrac{83}{9}}\)

2) أعط الكتابة العلمية للعددين: \(c=14,7895\) و \(d=0,0000651\)

\[ c=1,47895\times10^{1}\quad,\quad d=6,51\times10^{-5} \] النتيجة: \(\boxed{c=1,47895\times10^{1}}\), \(\boxed{d=6,51\times10^{-5}}\)

3) احسب: \(-\sqrt{9}-\sqrt{0,09}\), \(\sqrt{0,04}+\sqrt{16}\), \(( -2)^{-7}\times 2^{10}\), \(\left(\dfrac{4}{3}\right)^7\times(0,75)^6\)

\(-\sqrt9-\sqrt{0,09}=-3-0,3=-3,3\).
\(\sqrt{0,04}+\sqrt{16}=0,2+4=4,2\).
\((-2)^{-7}\times2^{10}=-(\dfrac{1}{128})\times1024=-8\).
\(0,75=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \left(\dfrac{4}{3}\right)^7\left(\dfrac{3}{4}\right)^6=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{1}=\dfrac{4}{3}\).

النتائج: \(\boxed{-3,3}\), \(\boxed{4,2}\), \(\boxed{-8}\), \(\boxed{\dfrac{4}{3}}\)

(1) احسب: \(A=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{-3}-\sqrt{\dfrac{8}{162}}+\left(-\dfrac{7}{2}\right)^0\)
(ونفس النمط: \(B\) في الصورة)

\(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{-3}=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3=-\dfrac{8}{27}\).
\(\sqrt{\dfrac{8}{162}}=\sqrt{\dfrac{4}{81}}=\dfrac{2}{9}\).
\(\left(-\dfrac{7}{2}\right)^0=1\).
\(A=-\dfrac{8}{27}-\dfrac{2}{9}+1=-\dfrac{8}{27}-\dfrac{6}{27}+\dfrac{27}{27}=\dfrac{13}{27}\).

النتيجة: \(\boxed{A=\dfrac{13}{27}}\)

(2) اكتب في صيغة قوة لعدد كسري نسبي: \(D=\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{-7}\times\left(-\dfrac{27}{125}\right)\), \(\quad C=\dfrac{\left(-\dfrac{8}{15}\right)^5}{\left(-\dfrac{16}{75}\right)^5}\)

\(\left(-\dfrac{5}{3}\right)^{-7}=\left(-\dfrac{3}{5}\right)^7\) و\(-\dfrac{27}{125}=\left(-\dfrac{3}{5}\right)^3\) \(\Rightarrow D=\left(-\dfrac{3}{5}\right)^{10}=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{10}\).
\(C=\left(\dfrac{\left(-\frac{8}{15}\right)}{\left(-\frac{16}{75}\right)}\right)^5 =\left(\dfrac{8}{15}\cdot\dfrac{75}{16}\right)^5=\left(\dfrac{40}{16}\right)^5=\left(\dfrac{5}{2}\right)^5.\)

النتائج: \(\boxed{D=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{10}}\), \(\boxed{C=\left(\dfrac{5}{2}\right)^5}\)

(3) عبّر ثم بيّن ثم احسب: \(E=2^{-2}\times\dfrac{a^{-8}b^{3}}{a^{-5}b^{6}}\)
أ) بيّن: \(E=\dfrac14\,a^{-3}b^{-3}\)
ب) احسب \(E\) إذا علمت: \(ab=\dfrac12\)

\(\dfrac{a^{-8}b^3}{a^{-5}b^6}=a^{-3}b^{-3}\).
\(2^{-2}=\dfrac14 \Rightarrow E=\dfrac14 a^{-3}b^{-3}\).
إذا \(ab=\dfrac12\Rightarrow a^{-3}b^{-3}=(ab)^{-3}=\left(\dfrac12\right)^{-3}=8\).
إذن \(E=\dfrac14\times 8=2\).

النتائج: \(\boxed{E=\dfrac14 a^{-3}b^{-3}}\) و\(\boxed{E=2}\)

(1) اكتب في صيغة قوة لعدد كسري نسبي:
\(a=3^{-13}\times2^5-3^{-13}\times5\)
\(b=\left(\dfrac{-2}{-3}\right)^2\times\dfrac{27}{64}\times\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}\)
\(c=\dfrac{\left((-7^{-2})\times 9^3\right)^{-3}}{(7^{-4})^{4}\times 9^2}\)

\(a=3^{-13}(2^5-5)=3^{-13}(32-5)=3^{-13}\cdot 27=3^{-13}\cdot 3^3=3^{-10}\).
\(b=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\cdot\dfrac{27}{64}\cdot\dfrac{2}{3} =\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{27}{64}\cdot\dfrac{2}{3} =\dfrac{3}{16}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{8}\).
\(-7^{-2}=-\dfrac{1}{49}\Rightarrow (-7^{-2})\cdot 9^3=-\dfrac{729}{49}\).
\(\left(-\dfrac{729}{49}\right)^{-3}=-\left(\dfrac{49}{729}\right)^3\).
\((7^{-4})^4=7^{-16}\) و\(9^2=81\Rightarrow\) المقام \(=7^{-16}\cdot 81\).
\(c=-\left(\dfrac{49^3}{729^3}\right)\cdot\dfrac{7^{16}}{81} =-\dfrac{7^{22}}{3^{22}}=-\left(\dfrac{7}{3}\right)^{22}.\)

النتائج: \(\boxed{a=3^{-10}}\), \(\boxed{b=\dfrac18}\), \(\boxed{c=-\left(\dfrac{7}{3}\right)^{22}}\)

(2) احسب:
أ) \(\sqrt{a}\)
ب) \(\sqrt{\,b+\dfrac{7}{16}\,}\)

من (1): \(a=3^{-10}\Rightarrow \sqrt{a}=3^{-5}=\dfrac{1}{243}\).
ومن (1): \(b=\dfrac18\Rightarrow b+\dfrac{7}{16}=\dfrac{2}{16}+\dfrac{7}{16}=\dfrac{9}{16}\Rightarrow \sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}.\)

النتائج: \(\boxed{\sqrt{a}=\dfrac{1}{243}}\), \(\boxed{\sqrt{b+\frac{7}{16}}=\dfrac{3}{4}}\)

(3) اعتبر: \(d=(x+2)(x^2-2x+4)\) حيث \(x\) عدد كسري نسبي.
أ) بيّن أن \(d=x^3+8\)
ب) احسب \(d\) إذا علمت: \(x=-2\)

\((x+2)(x^2-2x+4)=x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8\).
إذا \(x=-2\Rightarrow d=(-2)^3+8=-8+8=0\).

النتائج: \(\boxed{d=x^3+8}\), \(\boxed{d=0}\)

(1) اكتب في صيغة قوة لعدد كسري نسبي:
\( \dfrac{1}{4^5}+\dfrac{1}{4^5}+\dfrac{1}{4^5}+\dfrac{1}{4^5}\)
و \((\sqrt{36})^{5}\times 24^{-2}\times 4^{5}\)

\(4\cdot\dfrac{1}{4^5}=\dfrac{4}{4^5}=\dfrac{1}{4^4}=4^{-4}\).
\(\sqrt{36}=6\Rightarrow 6^5\times24^{-2}\times4^5\).
\(6^5=(2\cdot3)^5=2^5 3^5\), \(24^{-2}=(2^3\cdot3)^{-2}=2^{-6}3^{-2}\), \(4^5=2^{10}\).
إذن \(2^{5-6+10}=2^9\) و\(3^{5-2}=3^3\Rightarrow 2^9 3^3=(8\cdot3)^3=24^3\).

النتائج: \(\boxed{4^{-4}}\) و\(\boxed{24^{3}}\)

(2) احسب:
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3-\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3\)
\(\left(\sqrt{\dfrac{9}{4}}\right)^{19}+(-1,5)^{19}\)

\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{8}{27}\) و\(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3=-\dfrac{8}{27}\Rightarrow\) الفرق \(=\dfrac{16}{27}\).
\(\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}=1,5\Rightarrow \left(\dfrac{3}{2}\right)^{19}+ \left(-\dfrac{3}{2}\right)^{19}=0\) لأن \(19\) فردي.

النتائج: \(\boxed{\dfrac{16}{27}}\) و\(\boxed{0}\)

(3) استنتج القيمة العددية: \(I=\sqrt{12,25}-\sqrt{2,89}\)

\(\sqrt{12,25}=3,5\) و\(\sqrt{2,89}=1,7\Rightarrow I=3,5-1,7=1,8\).
النتيجة: \(\boxed{I=1,8}\)

اعتبر: \(E=\dfrac{a^{-5}b^{3}}{2^{-1}a^{-3}b^{5}}\) حيث \(a,b\) عددان كسريان نسبيان.
1) بيّن: \(E=2(ab)^{-2}\)
2) احسب \(E\) إذا علمت: \(ab=-\dfrac12\)

\(E=\dfrac{a^{-5}b^3}{2^{-1}a^{-3}b^5}=2^{1}\cdot a^{-2}\cdot b^{-2}=2(ab)^{-2}\).
إذا \(ab=-\dfrac12\Rightarrow (ab)^{-2}=\left(-\dfrac12\right)^{-2}=4\Rightarrow E=2\cdot4=8\).

النتائج: \(\boxed{E=2(ab)^{-2}}\), \(\boxed{E=8}\)

اعتبر: \(E=\dfrac{2x^{-6}y^{7}}{3^{-1}x^{-4}y^{5}}\) حيث \(x,y\) عددان كسريان.
1) بيّن: \(E=6\left(\dfrac{y}{x}\right)^2\)
2) احسب \(E\) إذا علمت: \(\dfrac{y}{x}=-\dfrac13\)

\(\dfrac{2}{3^{-1}}=2\cdot3=6\) و\(x^{-6}/x^{-4}=x^{-2}\), \(y^7/y^5=y^2\Rightarrow E=6x^{-2}y^2=6\left(\dfrac{y}{x}\right)^2\).
\(\dfrac{y}{x}=-\dfrac13\Rightarrow E=6\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{3}\).

النتائج: \(\boxed{E=6(\frac{y}{x})^2}\), \(\boxed{E=\dfrac{2}{3}}\)

(1) احسب:
\(A=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{7}\times\left(\dfrac{4}{3}\right)^{-4}\)
\(B=\left(\dfrac{9}{4}\right)^{2}\times\left(-\dfrac{112}{97}\right)+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4}\times\dfrac{15}{97}\)

\(\left(\dfrac{4}{3}\right)^{-4}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^4=\dfrac{81}{256}\), \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^7=-\dfrac{128}{2187}\Rightarrow A=-\dfrac{128}{2187}\cdot\dfrac{81}{256}=-\dfrac{1}{54}.\)
\(\left(\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{81}{16}\Rightarrow \dfrac{81}{16}\cdot\left(-\dfrac{112}{97}\right)=-\dfrac{567}{97}.\)
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^4=\dfrac{81}{16}\Rightarrow \dfrac{81}{16}\cdot\dfrac{15}{97}=\dfrac{1215}{1552}.\)
\(-\dfrac{567}{97}=-\dfrac{9072}{1552}\Rightarrow B=-\dfrac{9072}{1552}+\dfrac{1215}{1552}=-\dfrac{7857}{1552}.\)

النتائج: \(\boxed{A=-\dfrac{1}{54}}\), \(\boxed{B=-\dfrac{7857}{1552}}\)

(2) أكمل بما يناسب:
\((-3)\times(\,\dots\,)^3=24\)
\(\left(-\dfrac{8}{9}\right)^{\,\dots\,}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\,\dots\,}\)

\((-3)\cdot x^3=24\Rightarrow x^3=-8\Rightarrow x=-2\).
نأخذ دليل القوةًّا زوجيًا لإزالة الإشارة: \(\left(-\dfrac{8}{9}\right)^2=\dfrac{64}{81}\) و\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\dfrac{16}{81}\) لا يساوي.
لكن \(\dfrac{64}{81}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^4\) صحيح لأن \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\dfrac{16}{81}\) (إذن نعدّل بالتطابق الصحيح التالي):
\(\left(-\dfrac{8}{9}\right)^2=\dfrac{64}{81}=\left(\dfrac{8}{9}\right)^2\) وليس \((2/3)^4\).
حل مطابق وبسيط (كما يُستعمل عادة في مثل هذا السؤال): \(\left(-\dfrac{8}{9}\right)^{2}=\left(\dfrac{8}{9}\right)^{2}\).
وإذا كان المطلوب ربطها بـ\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\) فالأقرب: \(\left(\dfrac{8}{9}\right)^2=\left(\dfrac{2^3}{3^2}\right)^2=\dfrac{2^6}{3^4}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^4\cdot 2^2\) (ليس قوة خالصة لـ\(2/3\)).

النتيجة المؤكدة: \(\boxed{-2}\) للفراغ الأول.
ملاحظة: الفراغ الثاني في الصورة غير واضح تمامًا في اللقطة؛ إذا كتبتَه نصًّا سأعطيك الإكمال الدقيق فورًا.

(1) احسب:
\(A=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3\times\left(\dfrac{4}{3}\right)^{-1}\)
\(B=\left(-\dfrac{3}{7}\right)^{-2}\times\left(\dfrac{13}{61}\right)^{0}\)
\(C=3^{-1}\times21-\sqrt{25}\times5^{-1}\)
\(D=\left(\dfrac12\right)^{-3}\times\dfrac14\left[\left(-\dfrac32\right)^{-2}+\dfrac49-3^{-2}\right]\)

\(A=\left(-\dfrac{8}{27}\right)\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{2}{9}\).
\(B=\left(\dfrac{7}{3}\right)^2\cdot 1=\dfrac{49}{9}\).
\(C=\dfrac{21}{3}-5\cdot\dfrac{1}{5}=7-1=6\).
\(\left(\dfrac12\right)^{-3}=8\Rightarrow 8\cdot\dfrac14=2\).
\(\left(-\dfrac32\right)^{-2}=\left(-\dfrac23\right)^2=\dfrac49\).
داخل القوس: \(\dfrac49+\dfrac49-3^{-2}=\dfrac{8}{9}-\dfrac{1}{9}=\dfrac79\).
إذن \(D=2\cdot\dfrac79=\dfrac{14}{9}\).

النتائج: \(\boxed{A=-\dfrac{2}{9}}\), \(\boxed{B=\dfrac{49}{9}}\), \(\boxed{C=6}\), \(\boxed{D=\dfrac{14}{9}}\)

(2) اكتب في صيغة قوة:
\(D=\dfrac{(-3)^3\times(-3)^{-15}}{(-3)^{-5}}\)
\(C=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{19}\)

\(D=(-3)^{3-15-(-5)}=(-3)^{-7}\).
\(C=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2+19}=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{17}\).

النتائج: \(\boxed{D=(-3)^{-7}}\), \(\boxed{C=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{17}}\)

(3) اختصر: \(E=\dfrac{3^{6}\times(a^2)^{3}\times(b^{-5})^{-2}}{(a^2)^{2}\times(b^3)^{4}\times 9^{3}}\)

\((a^2)^3/(a^2)^2=a^2\).
\((b^{-5})^{-2}=b^{10}\) و\((b^3)^4=b^{12}\Rightarrow b^{10-12}=b^{-2}\).
\(9^3=(3^2)^3=3^6\Rightarrow \dfrac{3^6}{9^3}=1\).
\(E=a^2b^{-2}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^2\).

النتيجة: \(\boxed{E=\left(\dfrac{a}{b}\right)^2}\)

تمارين شاملة — القوى (نص + تصحيح مفصل داخل `<div>` مخفي)

تمرين (9) — اكتب في صيغة قوة لعدد كسري

تمرين (9) — اختصر العبارة \(E\) التالية (حيث \(x,y\) عددان كسريان غير منعدمَين)

تمرين (10) — نعتبر العبارتين (حيث \(a,b\) عددان كسريان غير منعدمَين)

تمرين (11) — احسب / أعط الكتابة العلمية

تمرين (12)

تمرين (13)

تمرين (14)

تمرين (5)

تمرين (6)

تمرين (7)

تمرين (8)

تمارين شاملة — القوى (نص + تصحيح مفصل داخل <div> مخفي)