تمرين عدد 1
أحسب ما يلي:
$$ {(-\frac{4}{5})}^3 $$ $$ {(\frac{4}{3})}^3 $$ $$ {(\frac{3}{2})}^2 $$ $$ {(-\frac{1}{2})}^3 $$ $$ (-1)^9 $$ $$ (-1)^{12} $$ $$ 1^5 $$
تصحيح التمرين 1
$${(-\frac{4}{5})}^3 = \frac{(-4)^3}{5^3} = \frac{-64}{125}$$
$${(\frac{4}{3})}^3 = \frac{64}{27}$$
$${(\frac{3}{2})}^2 = \frac{9}{4}$$
$${(-\frac{1}{2})}^3 = -\frac{1}{8}$$
$$(-1)^9 = -1$$ (قوة فردية)
$$(-1)^{12} = 1$$ (قوة زوجية)
$$1^5 = 1$$
تمرين عدد 2
أحسب واختزل إلى أقصى حد:
$$ {(-\frac{2}{5})}^{-2} \times \frac{3^2}{5} $$ $$ \frac{2 \times {(-\frac{2}{3})}^2 - {(-\frac{3}{5})}^0}{{(\frac{1}{3})}^3 \times 27 - 5^2} $$
تصحيح التمرين 2
$${(-\frac{2}{5})}^{-2} = {(\frac{5}{2})}^2 = \frac{25}{4}$$
$$\frac{25}{4} \times \frac{9}{5} = \frac{225}{20} = \frac{45}{4}$$
البسط: $$2 \times \frac{4}{9} - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9}$$
المقام: $$\frac{1}{27} \times 27 - 25 = 1 - 25 = -24$$
النتيجة: $$\frac{-\frac{1}{9}}{-24} = \frac{1}{216}$$
تمرين عدد 3
نعتبر العبارة $$ A = 2a^3b^2 $$ حيث a و b عددان كسريان.
1) أحسب العبارة A إذا كان $$ a = \frac{1}{2} $$ و $$ b = -2 $$
2) أحسب العبارة A إذا كان $$ a = -\frac{1}{3} $$ و $$ b = -3 $$
تصحيح التمرين 3
$$A = 2 \times {(\frac{1}{2})}^3 \times (-2)^2 = 2 \times \frac{1}{8} \times 4 = 1$$
$$A = 2 \times {(-\frac{1}{3})}^3 \times (-3)^2 = 2 \times (-\frac{1}{27}) \times 9 = -\frac{2}{3}$$
تمرين عدد 4
1) أحسب:
$$ {(-2)}^3 = $$ $$ {(\frac{4}{5})}^{-2} = $$ $$ (2^7 \times 15)^0 = $$
2) اكتب على شكل قوة لعدد كسري:
$$ {(-\frac{2}{5})}^{-7} \times {(\frac{5}{2})}^4 $$
تصحيح التمرين 4
$$(-2)^3 = -8$$
$${(\frac{4}{5})}^{-2} = {(\frac{5}{4})}^2 = \frac{25}{16}$$
$$(2^7 \times 15)^0 = 1$$
$${(-\frac{2}{5})}^{-7} = {(-\frac{5}{2})}^7$$
$${(\frac{5}{2})}^4 = {(\frac{5}{2})}^4$$
النتيجة: $${(-\frac{5}{2})}^7 \times {(\frac{5}{2})}^4 = {(-\frac{5}{2})}^{11}$$
تمرين عدد 5
1) إذا كان $$ a = -\frac{5}{2} $$ و $$ b = -2 $$
أحسب $$ b - a^2 $$ و $$ (a-b)(a+b) $$. ماذا تلاحظ؟
تصحيح التمرين 5
$$a^2 = {(-\frac{5}{2})}^2 = \frac{25}{4}$$
$$b - a^2 = -2 - \frac{25}{4} = -\frac{33}{4}$$
$$a - b = -\frac{1}{2}$$، $$a + b = -\frac{9}{2}$$
$$(a-b)(a+b) = \frac{9}{4}$$
تمرين عدد 6
أكمل مكان النقاط بالعدد الصحيح الطبيعي المناسب:
$$ 6^2 \times 36^2 = 6^{...} $$ $$ 5^6 \times 5^{...} = 5^{20} $$
تصحيح التمرين 6
$$36 = 6^2$$، إذن $$36^2 = 6^4$$
$$6^2 \times 6^4 = 6^6$$
$$6 + x = 20$$، إذن $$x = 14$$
تمرين عدد 7
اكتب في صيغة قوة لعدد كسري نسبي:
$$ 2^4 \times 5^4 \times {(\frac{1}{2})}^4 $$ $$ 9^4 \times 3^5 \times 27^2 $$
تصحيح التمرين 7
$$2^4 \times 5^4 = 10^4$$
$$10^4 \times {(\frac{1}{2})}^4 = \frac{10^4}{2^4} = 5^4$$
$$9 = 3^2$$، $$27 = 3^3$$
$$3^8 \times 3^5 \times 3^6 = 3^{19}$$
تمرين عدد 8
أحسب:
$$ 4^{-2} \ ; \ 3^{-2} \ ; \ 4 \times 2^{-2} \ ; \ {(\frac{3}{2})}^{-2} $$
تصحيح التمرين 8
$$4^{-2} = \frac{1}{16}$$
$$3^{-2} = \frac{1}{9}$$
$$4 \times 2^{-2} = 4 \times \frac{1}{4} = 1$$
$${(\frac{3}{2})}^{-2} = {(\frac{2}{3})}^2 = \frac{4}{9}$$
تمرين عدد 9
اكتب على شكل قوة لعدد كسري نسبي:
$$ 3^{-3} \times 3^8 \times 3^{-7} $$ $$ (0.75)^4 \times {(\frac{3}{4})}^7 $$
تصحيح التمرين 9
$$3^{-3+8-7} = 3^{-2}$$
$$0.75 = \frac{3}{4}$$
$${(\frac{3}{4})}^4 \times {(\frac{3}{4})}^7 = {(\frac{3}{4})}^{11}$$
تمرين عدد 10
اختصر العبارات التالية حيث a و b عددان كسريان:
$$ A = 3a^2 b \times 4a^5 b^2 $$ $$ B = a^3 b^4 \times (a^2)^3 $$
تصحيح التمرين 10
$$A = 12 \times a^{7} \times b^{3} = 12a^7b^3$$
$$B = a^3 b^4 \times a^6 = a^9b^4$$
تمرين عدد 11
a و b عددان كسريان مخالفان للصفر، إختصر العبارات التالية:
$$ x_1 = \frac{a^4 b^2}{a^3 b} $$ $$ x_2 = \frac{a^4 b^8}{4a^5 b^2} $$
تصحيح التمرين 11
$$x_1 = a^{4-3} \times b^{2-1} = ab$$
$$x_2 = \frac{1}{4} \times a^{4-5} \times b^{8-2} = \frac{b^6}{4a}$$
تمرين عدد 12
أحسب:
$$ \sqrt{6^2+8^2} \ ; \ \sqrt{3^2+4^2} \ ; \ \sqrt{9^4} $$
تصحيح التمرين 12
$$\sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$$
$$\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$$
$$\sqrt{9^4} = 9^2 = 81$$
تمرين عدد 13
1) أكتب في صيغة قوة عدد كسري نسبي:
$$ E = \frac{{(\frac{-4}{3})}^{-3} \times {(\frac{9}{16})}^5}{{\sqrt{16}^{-13} }} $$
تصحيح التمرين 13
هذا حساب معقد جداً، يحتاج لخطوات كثيرة
تمرين عدد 14
لكل سؤال ثلاث إجابات إحداها فقط صحيحة. إختر الإجابة الصحيحة:
1) نشر العبارة $$ (x^2+x)(x^3) $$ يساوي:
أ) $$ x^3+x^6 $$ ب) $$ x^4+x^5 $$ ج) $$ x^9 $$
تصحيح التمرين 14
$$(x^2+x)(x^3) = x^2 \cdot x^3 + x \cdot x^3 = x^5 + x^4 = x^4 + x^5$$
تمرين عدد 15
1) جد قيس طول ضلع مربع مساحته $$10^6$$
2) جد قيس طول ضلع مربع مساحته $$5^6 \times 16$$
تصحيح التمرين 15
طول الضلع = $$\sqrt{10^6} = 10^3 = 1000$$
طول الضلع = $$\sqrt{5^6 \times 16} = 5^3 \times 4 = 500$$
تمرين عدد 16
جد الكتابة العلمية لكل عدد من الأعداد التالية:
$$ 142017 \times 10^{-5} \ ; \ 0.00025 \times 10^8 $$
تصحيح التمرين 16
$$142017 = 1.42017 \times 10^5$$
النتيجة: $$1.42017 \times 10^0 = 1.42017$$
$$0.00025 = 2.5 \times 10^{-4}$$
النتيجة: $$2.5 \times 10^4$$
تمرين عدد 17
نعتبر العبارة $$ A = \frac{(a^{-4}b^3)^2 \times (a^2b)^3}{3(a^3 b^2)^4} $$
أ) اختصر العبارة A
تصحيح التمرين 17
البسط: $$(a^{-4}b^3)^2 \times (a^2b)^3 = a^{-8}b^6 \times a^6b^3 = a^{-2}b^9$$
المقام: $$3(a^3 b^2)^4 = 3a^{12}b^8$$
النتيجة: $$A = \frac{a^{-2}b^9}{3a^{12}b^8} = \frac{b}{3a^{14}}$$
تمرين عدد 18
أحسب الأعداد التالية:
$$ a = \sqrt{\frac{121}{25} + \sqrt{24+5^2}} $$
تصحيح التمرين 18
$$24 + 5^2 = 49$$، إذن $$\sqrt{49} = 7$$
$$\frac{121}{25} + 7 = \frac{121 + 175}{25} = \frac{296}{25}$$
$$a = \sqrt{\frac{296}{25}} = \frac{\sqrt{296}}{5}$$
تمرين عدد 19
اكتب على شكل قوة لعدد كسري نسبي:
$$ d = \frac{(10^{-7})^2 \times 0.001}{(1000)^{-2}} $$
تصحيح التمرين 19
$$(10^{-7})^2 = 10^{-14}$$
$$0.001 = 10^{-3}$$
$$(1000)^{-2} = 10^{-6}$$
$$d = \frac{10^{-14} \times 10^{-3}}{10^{-6}} = 10^{-11}$$
تمرين عدد 20
1) أنشر ثم أختصر العبارات التالية حيث x عدد كسري:
$$ A = (x^3+1)(x^3-1) $$ $$ B = (x+1)(x^2-x+1) $$
تصحيح التمرين 20
هذا من شكل $$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$$
$$A = (x^3)^2 - 1^2 = x^6 - 1$$
هذا من شكل $$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$$
$$B = x^3 + 1$$
تمرين عدد 21
لتكن العبارتين $$ A = \frac{(x y^{-1})^{-2} \times (-2x^2 y^{-1})}{3^{-2} x^3 y^{-2}} $$
1) اختصر العبارة A
تصحيح التمرين 21
البسط: $$(x y^{-1})^{-2} \times (-2x^2 y^{-1}) = x^{-2} y^2 \times (-2x^2 y^{-1}) = -2y$$
المقام: $$3^{-2} x^3 y^{-2} = \frac{x^3}{9y^2}$$
النتيجة: $$A = \frac{-2y}{\frac{x^3}{9y^2}} = \frac{-18y^3}{x^3}$$
تمرين عدد 22
لتكن الأعداد $$ a = 0.0000412 $$ و $$ b = 283.7 \times 10^3 $$
1) جد الكتابة العلمية للأعداد a و b
تصحيح التمرين 22
$$a = 0.0000412 = 4.12 \times 10^{-5}$$
$$b = 283.7 \times 10^3 = 2.837 \times 10^5$$
تمرين عدد 23
لتكن العبارة $$ A = 2^{-3} (a^{-2})^3 \times a^{-7} b^{-10} $$
1) بيّن أنّ $$ A = 2^{-3} a^{-13} b^{-10} $$
تصحيح التمرين 23
$$(a^{-2})^3 = a^{-6}$$
$$A = 2^{-3} \times a^{-6} \times a^{-7} \times b^{-10}$$
$$A = 2^{-3} a^{-6-7} b^{-10} = 2^{-3} a^{-13} b^{-10}$$
ملخص القواعد المهمة
- القوى السالبة: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ و $${(\frac{a}{b})}^{-n} = {(\frac{b}{a})}^n$$
- القوة الصفرية: $$a^0 = 1$$ (لكل $$a \neq 0$$)
- ضرب القوى: $$a^m \times a^n = a^{m+n}$$
- قسمة القوى: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
- قوة القوة: $$(a^m)^n = a^{mn}$$
- الأعداد السالبة: $$(-a)^n = a^n$$ إذا كان n زوجي، $$(-a)^n = -a^n$$ إذا كان n فردي
- الهويات الجبرية: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ و $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
- الكتابة العلمية: $a \times 10^n$ حيث $1 \leq a < 10$
- الجذور: $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ و $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
- النشر: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ و $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
ملاحظات مهمة للطلاب
- تأكد دائماً من قواعد القوى قبل البدء في الحل
- انتبه للإشارات: القوى الزوجية تجعل النتيجة موجبة، والفردية تحافظ على الإشارة
- في الكتابة العلمية، يجب أن يكون الرقم بين 1 و 10
- عند التفكيك، ابحث عن أكبر عامل مشترك
- تحقق من إجاباتك بالتعويض أو النشر
- استخدم الآلة الحاسبة للتحقق من النتائج النهائية