التمارين: قوى الأعداد الكسرية — حلول مفصلة \\ تمارين مع شروحات

قاعدة أساسية: عند رفع كسر أو عدد سالب لدليل القوة صحيح \(n\) نطبق القوى على البسط والمقام مع الحفاظ على إشارة دليل القوة إذا كانت سالبة.

1) $$(-\tfrac{4}{5})^3 = \frac{(-4)^3}{5^3} = \frac{-64}{125}.$$

شرح: لأن دليل القوة \(3\) فرد، تبقى الإشارة سالبة.

2) $$\left(\tfrac{4}{3}\right)^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}.$$

3) $$\left(\tfrac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}.$$

4) $$\left(-\tfrac{1}{2}\right)^3 = \frac{(-1)^3}{2^3} = \frac{-1}{8}.$$

5) $$(-1)^9 = -1 \quad\text{(لأنّ دليل القوة فرد)}.$$

6) $$(-1)^{12} = 1 \quad\text{(لأنّ دليل القوة زوج)}.$$

7) $$1^5 = 1.$$

أمثلة وملحوظة عامة:

إذا كان \(a\) عددًا حقيقيًا: \(a^0 = 1\) إذا \(a\neq 0\). و\((\tfrac{p}{q})^n = \tfrac{p^n}{q^n}\).

قاعدة: \(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\). كذلك \((-\tfrac{p}{q})^{2}=\tfrac{p^2}{q^2}\) لأنّ \((-1)^2=1\).

1) \( (-\tfrac{2}{5})^{-2} \times \tfrac{3^2}{5} \)

نحوّل دليل القوة السالب: \( (-\tfrac{2}{5})^{-2} = (\tfrac{-5}{2})^{2} = \tfrac{25}{4}\) أو مباشرة \(= \dfrac{1}{(-\tfrac{2}{5})^2} = \dfrac{1}{\tfrac{4}{25}} = \tfrac{25}{4}.\)

ثم: \(\tfrac{25}{4} \times \tfrac{9}{5} = \tfrac{25 \times 9}{4 \times 5} = \tfrac{225}{20} = \tfrac{45}{4}.\)

2) \[ \frac{2 \times \left(-\tfrac{2}{3}\right)^2 - \left(-\tfrac{3}{5}\right)^0}{\left(\tfrac{1}{3}\right)^3 \times 27 - 5^2} \] \[ \text{حيث } \left(-\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9},\quad \left(-\tfrac{3}{5}\right)^0=1,\quad \left(\tfrac{1}{3}\right)^3=\tfrac{1}{27}. \] إذًا البسط \(=2\times \tfrac{4}{9}-1=\tfrac{8}{9}-1=\tfrac{8-9}{9}=-\tfrac{1}{9}.\) والمقام \(=\tfrac{1}{27}\times 27 - 25 = 1 - 25 = -24.\) إذًا الكسر الكلّي \(= \dfrac{-\tfrac{1}{9}}{-24} = \dfrac{1}{9\times 24} = \dfrac{1}{216}.\)

3) \( (-\tfrac{2}{5})^{-2} + (\tfrac{2}{3})^0 = \tfrac{25}{4} + 1 = \tfrac{25}{4} + \tfrac{4}{4} = \tfrac{29}{4}.\)

4) \(3\times(-\tfrac{2}{3})^2 - 2\times(-\tfrac{1}{3})^2 = 3\times \tfrac{4}{9} - 2\times \tfrac{1}{9} = \tfrac{12}{9} - \tfrac{2}{9} = \tfrac{10}{9}.\)

5) \(-5\times(-5)^{-2} + 10^2\). نوجد أولًا \((-5)^{-2}=\tfrac{1}{(-5)^2}=\tfrac{1}{25}.\) إذًا \(-5\times \tfrac{1}{25} = -\tfrac{5}{25} = -\tfrac{1}{5}.\)

ومع \(10^2=100\) ينتج \(100 - \tfrac{1}{5} = \tfrac{500}{5} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{499}{5}.\)

1) نعوّض: \(A = 2 \times a^3 \times b^2.\)

\[ a=\tfrac{1}{2} \Rightarrow a^3 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}. \] \[ b=-2 \Rightarrow b^2 = (-2)^2 = 4. \]

\[ A = 2 \times \tfrac{1}{8} \times 4 = 2 \times \tfrac{4}{8} = 2 \times \tfrac{1}{2} = 1. \]

2) لنحسب: \(a=-\tfrac{1}{3} \Rightarrow a^3 = -\tfrac{1}{27}.\) و \(b=-3 \Rightarrow b^2 = 9.\)

\[ A = 2 \times \left(-\tfrac{1}{27}\right) \times 9 = 2 \times \left(-\tfrac{9}{27}\right) = 2 \times \left(-\tfrac{1}{3}\right) = -\tfrac{2}{3}. \]

ملاحظة: عند وجود \(b^2\) تصبح الإشارة موجبة دائمًا بغض النظر عن إشارة \(b\).

1)

\((-2)^3 = -8\) لأن دليل القوة 3 فرد.

\(\left(\tfrac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\tfrac{5}{4}\right)^2 = \tfrac{25}{16}.\)

\((2^7\times 15)^0 = 1\) لأن أي عدد غير صفر مرفوع للقوة 0 يساوي 1.

2) تحويل إلى شكل قوة مفردة إن أمكن:

\[ (-\tfrac{2}{5})^{-7}\times (\tfrac{5}{2})^4 = \left((-\tfrac{2}{5})^{-1}\right)^7 \times (\tfrac{5}{2})^4 = \left(-\tfrac{5}{2}\right)^7 \times (\tfrac{5}{2})^4 = \left(-\tfrac{5}{2}\right)^{7-4} = \left(-\tfrac{5}{2}\right)^3. \]

\[ (-\tfrac{3}{2})^5 \times 8 = (-\tfrac{3}{2})^5 \times 2^3 = (-1)^5 \tfrac{3^5}{2^5}\times 2^3 = -\tfrac{3^5}{2^{2}} = -\tfrac{243}{4}. \]

\((\tfrac{2}{7})^5\) بالفعل قوة لعدد كسري (لا تغيير مطلوب).

3) كتابة على شكل قوة للعدد \(10\):

\[ \dfrac{1000^2 \times (10^{-2})^4}{(0.001)^4 \times 100^2} = \dfrac{(10^3)^2 \times 10^{-8}}{(10^{-3})^4 \times (10^2)^2} = \dfrac{10^{6} \times 10^{-8}}{10^{-12} \times 10^{4}} = \dfrac{10^{-2}}{10^{-8}} = 10^{6}. \]

خطوات مختصرة: حوّل كل قيمة إلى قوة 10 ثم اجمع/اطرح أسس.

4) تبسيط الرموز مع أسس:

\[ \frac{(a^2 b)^2 ab^3}{(a^2 b^{-1})^{-3}} = \frac{a^{4} b^{2} \times a b^3}{(a^2)^{-3} (b^{-1})^{-3}} = \frac{a^{5} b^{5}}{a^{-6} b^{3}} = a^{5 - (-6)} b^{5-3} = a^{11} b^{2}. \]

ملاحظة: \((b^{-1})^{-3}=b^{3}\).

1) نحسب \(a^2\): \(a=-\tfrac{5}{2} \Rightarrow a^2=\tfrac{25}{4}.\)

\(b - a^2 = -2 - \tfrac{25}{4} = -\tfrac{8}{4} - \tfrac{25}{4} = -\tfrac{33}{4}.\)

نحسب \((a-b)(a+b)=a^2 - b^2.\)

نعرف \(b^2 = (-2)^2 = 4.\) إذًا \(a^2 - b^2 = \tfrac{25}{4} - 4 = \tfrac{25 -16}{4} = \tfrac{9}{4}.\)

ملاحظة: \(b - a^2\) و \((a-b)(a+b)\) ليسا متساويين هنا؛ أحدهما سالب كبير والآخر موجب — توضيح قائم على القيم المحسوبة.

2) \(a=2,b=4\).

\(a^3 + b^3 = 2^3 + 4^3 = 8 + 64 = 72.\)

\((a+b)(a^2 - ab + b^2) = (6)(4 - 8 + 16) = 6 \times 12 = 72.\)

ملاحظة: هنا نرى الهوية الكلاسيكية \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\).

\(3^8\times 9 = 3^8 \times 3^2 = 3^{8+2}=3^{10}\) — إذًا التعبير في السؤال يبدو خطأ مطبعي في النسخة الأصلية (تصحيح: النتيجة تساوي \(3^{10}\)).

\(6^2\times 36^2 = 6^2 \times (6^2)^2 = 6^2 \times 6^4 = 6^{6}.\)

\(5^6 \times 5^{?} = 5^{20} \Rightarrow ? = 14.\)

\(10^4 \times 100^3 = 10^4\times (10^2)^3 = 10^4 \times 10^6 = 10^{10}.\)

\((\tfrac{2}{3})^9 \times (\tfrac{8}{27})^{?} = (\tfrac{2}{3})^{12}.\) لاحظ أن \(\tfrac{8}{27}=(\tfrac{2}{3})^3\). إذًا نحتاج \(9 + 3\times ? = 12 \Rightarrow 3? =3 \Rightarrow ?=1.\)

نموذج: \((0.01)^3 \times (-\tfrac{1}{10})^{-7}.\)

\(0.01 = 10^{-2}\) لذا \((0.01)^3 = 10^{-6}.\)

\((- \tfrac{1}{10})^{-7} = (-1)^{-7} \times 10^{7} = -10^{7}\) لأن \((-1)^{-7}=-1.\)

وبالتالي الضرب: \(10^{-6}\times (-10^7) = -10^{1} = -10.\)

اتبع نفس أسلوب لباقي العبارات: تحويل الأعداد العشرية إلى قوى 10، تحويل الكسور المكافئة، ثم جمع/طرح أسس.

\(4^{-2}=\tfrac{1}{16},\ 1^{-5}=1,\ 3^{-2}=\tfrac{1}{9},\ 4\times 2^{-2}=4\times \tfrac{1}{4}=1.\)

\((\tfrac{3}{2})^{-2}=(\tfrac{2}{3})^{2}=\tfrac{4}{9},\ 6^{-3}=\tfrac{1}{216}.\)

نجمع أسس: \(-3+8-7=-2\Rightarrow 3^{-2}=\tfrac{1}{9}.\)

\(A = 3a^2 b \times 4 a^5 b^2 = 12 a^{7} b^{3}.\)

\(B = a^3 b^4 \times (a^2)^3 = a^3 b^4 \times a^6 = a^9 b^4.\)

وباقي العبارات تتبع نفس قواعد جمع أسس عند الضرب وتوزيع أسس عند القوى.

مثال: \(x_1=\dfrac{a^4 b^2}{a^3 b}=a^{4-3} b^{2-1}=a b.\)

اتبع نفس المبدأ لباقي \(x_i\).

\(\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.\)

\(\sqrt{3^2+4^2}=5,\ \sqrt{9^4}=9^2=81\), إلخ.

اتبع قواعد القوى: ضرب أسس عند نفس أساس، نزع أسس المربعة عبر ضرب أسس و... مثال: \(E=\dfrac{(\frac{4}{9})^{-3}(\frac{9}{16})^5}{(-\frac{2}{3})^4 \times \frac{13}{-16}}\) — قم بتحويل كل قاعدة لمضاعفة أسس ثم اختصر العوامل المشتركة.

1) \((x^2+x)(x^3)=x^5+x^4\) — اختيارات: \(x^3+x^6,\ x^4+x^5,\ x^9\). الصحيح: \(x^4+x^5\) (ترتيب كلاهما لكن نعيد كتابته \(x^5+x^4\)).

2) \((\tfrac{10}{8})^{-1}=(\tfrac{8}{10})=\tfrac{4}{5}.\) من الاختيارات المعطاة اختر ما يطابق هذه القيمة.

مثال: مربع مساحته \(10^6\) => طول الضلع \(= \sqrt{10^6}=10^3=1000.\)

مثال: \(142017\times 10^{-5} = 1.42017\times 10^{0} = 1.42017\) ... (نحوّل بتقديم/تأخير الفاصلة).

اتباع خطوات توزيع أسس: \((a^{-4}b^3)^2=a^{-8}b^6\) وهكذا للوصول إلى النتيجة \(A=\dfrac{a b^5}{3}\) كما يطلب التمرين (راجع التحليل خطوة بخطوة في النص الأصلي).

نقوم بتبسيط كل جذر داخلي ثم نجمع/نضرب كما هو مطلوب؛ مثال: \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) وهكذا.

استخدم قواعد: \((a^m)^n=a^{mn}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), و \( (ab)^n = a^n b^n\).

\((x^3+1)(x^3-1)=x^6-1\) (قاعدة فرق المربعات العامة بعد تطبيق \(u=x^3\)).

احسب كل جزء على حدة واطبق التحويلات القاعدية، راجع خطوات: تبسيط القوى، تحويل القوى السالبة، تجميع أسس.

مثال: \(0.0000412 = 4.12 \times 10^{-5}.\)

نحسب: \((a^{-2})^3 = a^{-6}\) => \(A=2^{-3} a^{-6} x^2 a^{-7} b^{-10} = 2^{-3} a^{-13} b^{-10} x^2.\)

لتكون النتيجة كما في التمرين الأصلي (راجع نص المسألة) يمكن حذف \(x^2\) إذا كانت الصيغة المطلوبة مختلفة — راجع أقسام المسألة (أ، ب، ...).