الدرس الرابع: القوى في مجموعة الأعداد الكسرية النسبية

1

احسب ما يلي

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} ; \left(-\frac{1}{2}\right)^3 ; \frac{3^2}{2} ; \left(-\frac{3}{2}\right)^2 ; \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} ; (-1)^6 ; -1^6 ; (-1)^3 ; -1^3 ; 1^3 ; \left(\frac{4}{5}\right)^3 ; \left(\frac{4}{5}\right)^{-1} ; \frac{4^3}{5}$

الحل المفصل للتمرين 1

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \frac{2}{1} = 2$
$\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$
$\frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}$
$\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{(-3)^2}{2^2} = \frac{9}{4}$
$\left(\frac{3}{2}\right)^{-1} = \frac{2}{3}$
$(-1)^6 = 1$
$-1^6 = -(1^6) = -1$
$(-1)^3 = -1$
$-1^3 = -(1^3) = -1$
$1^3 = 1$
$\left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{4^3}{5^3} = \frac{64}{125}$
$\left(\frac{4}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{4}$
$\frac{4^3}{5} = \frac{64}{5}$
2

احسب واختزل

$-5 \times (-5)^2 + 10^2$
$2 \times \left(\frac{1}{7}\right)^2 - \left(\frac{3}{8}\right)^3$
$\frac{-2}{5} \times \left(\frac{-5}{7}\right)^2 - \frac{1}{3} \times 3^2$
$\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 2 \times \left(-\frac{1}{3}\right)^2$
$\left(-\frac{1}{3}\right) \times 27 - 5^2$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$

الحل المفصل للتمرين 2

$-5 \times (-5)^2 + 10^2 = -5 \times 25 + 100 = -125 + 100 = -25$
$2 \times \left(\frac{1}{49}\right) - \frac{27}{512} = \frac{2}{49} - \frac{27}{512} = \frac{1024 - 1323}{25088} = -\frac{299}{25088}$
$\frac{-2}{5} \times \frac{25}{49} - \frac{1}{3} \times 9 = -\frac{10}{49} - 3 = -\frac{10}{49} - \frac{147}{49} = -\frac{157}{49}$
$\frac{4}{9} - 2 \times \frac{1}{9} = \frac{4}{9} - \frac{2}{9} = \frac{2}{9}$
$-\frac{27}{3} - 25 = -9 - 25 = -34$
$\frac{3}{2} + \frac{3}{1} = \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \frac{9}{2}$
3

حساب عبارة حرفية

لتكن العبارة $A = 2a^2b^3$ حيث a و b عددان كسريان.

(1) احسب A إذا كان $a = \frac{1}{2}$ و $b = -2$.

(2) احسب A إذا كان $a = -\frac{1}{3}$ و $b = -\frac{2}{3}$.

الحل المفصل للتمرين 3

(1) نعوض بقيم a و b:

$A = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times (-2)^3 = 2 \times \frac{1}{4} \times (-8) = \frac{1}{2} \times (-8) = -4$

(2) نعوض بقيم a و b:

$A = 2 \times \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \times \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = 2 \times \frac{1}{9} \times \left(-\frac{8}{27}\right) = \frac{2}{9} \times \left(-\frac{8}{27}\right) = -\frac{16}{243}$
4

حساب وكتابة في صيغة قوة

(1) احسب:

$(2^7 \times 15)^0 = $
$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = $
$(-2)^3 = $

(2) اكتب على شكل قوة لعدد كسري:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{-6} \times \left(\frac{2}{5}\right)^4 = $
$\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^6}{\left(\frac{3}{5}\right)^2} = $

(3) اكتب على شكل قوة للعدد 10:

$\frac{1000^2 \times (10^{-2})^4}{(0.001)^4 \times 100^2} = $

الحل المفصل للتمرين 4

(1) حساب:

$(2^7 \times 15)^0 = 1$
$\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$
$(-2)^3 = -8$

(2) كتابة في صيغة قوة:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{-6} \times \left(\frac{2}{5}\right)^4 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-6+4} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$
$\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^6}{\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \left(\frac{3}{5}\right)^{6-2} = \left(\frac{3}{5}\right)^4$

(3) قوة للعدد 10:

$\frac{(10^3)^2 \times 10^{-8}}{(10^{-3})^4 \times (10^2)^2} = \frac{10^6 \times 10^{-8}}{10^{-12} \times 10^4} = \frac{10^{-2}}{10^{-8}} = 10^{-2 - (-8)} = 10^6$
5

متطابقات هامة

(1) إذا كان $a = -\frac{5}{6}$ و $b = -2$. احسب $(a + b)(a - b)$ و $a^2 - b^2$. ماذا تلاحظ؟

(2) إذا كان $a = -2$ و $b = 4$. احسب $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ و $a^3 + b^3$. ماذا تلاحظ؟

الحل المفصل للتمرين 5

(1) الحالة الأولى:

$a+b = -\frac{5}{6} - 2 = -\frac{5}{6} - \frac{12}{6} = -\frac{17}{6}$
$a-b = -\frac{5}{6} - (-2) = -\frac{5}{6} + 2 = -\frac{5}{6} + \frac{12}{6} = \frac{7}{6}$
$(a+b)(a-b) = \left(-\frac{17}{6}\right) \times \left(\frac{7}{6}\right) = -\frac{119}{36}$
$a^2 - b^2 = \left(-\frac{5}{6}\right)^2 - (-2)^2 = \frac{25}{36} - 4 = \frac{25}{36} - \frac{144}{36} = -\frac{119}{36}$
نلاحظ أن: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

(2) الحالة الثانية:

$a+b = -2+4 = 2$
$a^2 - ab + b^2 = (-2)^2 - (-2)(4) + 4^2 = 4 - (-8) + 16 = 4+8+16 = 28$
$(a+b)(a^2-ab+b^2) = 2 \times 28 = 56$
$a^3 + b^3 = (-2)^3 + 4^3 = -8 + 64 = 56$
نلاحظ أن: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$