تمارين في صيغة القوة للأعداد الكسرية

لحل هذه العبارة، نتبع الخطوات التالية:

1. الجزء الأول: \( \left[ \left( \frac{5}{7} \right)^{120} \right]^4 = \left( \frac{5}{7} \right)^{120 \times 4} = \left( \frac{5}{7} \right)^{480} \)
2. الجزء الثاني: \( (-0.9)^{-2009} \times \left( \frac{307}{333} \right)^{-2009} = \left( -0.9 \times \frac{307}{333} \right)^{-2009} \)
3. نلاحظ أن \( \frac{307}{333} \approx 0.922 \) وبالتالي \( -0.9 \times 0.922 \approx -0.83 \)
4. النتيجة النهائية: \( \left( \frac{5}{7} \right)^{480} - \left( -0.83 \right)^{-2009} \)

لحل هذه العبارة، نستخدم خاصية ضرب القوى لنفس أساس:

1. القاعدة: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
2. التطبيق: \( (-6.17)^{147} \times (-6.17)^{23} = (-6.17)^{147+23} = (-6.17)^{170} \)
3. دليل القوة زوجي (170)، مما يعني أن النتيجة ستكون موجبة.
4. النتيجة النهائية: \( (6.17)^{170} \)

لحل هذه العبارة، نتبع الخطوات التالية:

1. الطريقة 1: أولا نحسب ما داخل القوس: \( 2^3 = 8 \). ثم نرفع النتيجة للقوة 5: \( 8^5 = 32768 \). أخيرا نطبق الإشارة السالبة: \( -32768 \).
2. الطريقة 2: باستخدام خاصية قوة القوة: \( -\left( 2^3 \right)^5 = -2^{3 \times 5} = -2^{15} = -32768 \).

لحل هذه العبارة المعقدة، نتبع الخطوات التالية:

1. الجزء الأول: \( \frac{(-3.14)^{-219}}{(3.14)^{124}} = \frac{(-1)^{-219} \times (3.14)^{-219}}{(3.14)^{124}} = (-1)^{-219} \times (3.14)^{-219-124} = (-1)^{-219} \times (3.14)^{-343} \). بما أن دليل القوة 219 فردي، \( (-1)^{-219} = -1 \). إذن الجزء الأول هو \(- (3.14)^{-343}\).
2. الجزء الثاني: \( \frac{1}{(-3)^{-343}} = (-3)^{343} = (-1)^{343} \times 3^{343} = -3^{343} \) (لأن دليل القوة 343 فردي).
3. نجمع الجزئين: \( - (3.14)^{-343} \times (-3^{343}) \).
4. النتيجة: \( (3.14)^{-343} \times 3^{343} = \frac{3^{343}}{3.14^{343}} = \left( \frac{3}{3.14} \right)^{343} \).

لحل هذه العبارة، نستخدم خاصية قسمة القوى لنفس أساس:

1. القاعدة: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
2. التطبيق: \( \frac{(-19)^{167}}{(-19)^{57}} = (-19)^{167-57} = (-19)^{110} \)
3. بما أن دليل القوة زوجي (110)، النتيجة ستكون موجبة.
4. النتيجة النهائية: \( 19^{110} \)

لحساب هذه العبارة:

1. نستخدم خاصية دليل القوة السالب (المقلوب): \( \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n \).
2. إذن: \( \left( \frac{3}{5} \right)^{-2} = \left( \frac{5}{3} \right)^2 \).
3. نحسب القوة: \( \left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9} \).
4. النتيجة: \( \frac{25}{9} \).

لحساب هذه العبارة:

1. دليل القوة فردي (3) مما يحافظ على الإشارة السالبة.
2. نحسب القوة: \( \left( -\frac{1}{2} \right)^3 = - \left( \frac{1^3}{2^3} \right) = - \frac{1}{8} \).
3. النتيجة: \( -\frac{1}{8} \) أو -0.125

لحساب هذه العبارة:

1. نستخدم خاصية ضرب القوى لنفس أساس: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \).
2. التطبيق: \( \left( \frac{20}{17} \right)^{2017 + (-2016)} = \left( \frac{20}{17} \right)^{2017 - 2016} \).
3. نحسب دليل القوة: \( 2017 - 2016 = 1 \).
4. النتيجة: \( \left( \frac{20}{17} \right)^1 = \frac{20}{17} \).

لحساب هذه العبارة:

1. القاعدة أساسية: أي عدد غير صفري مرفوع للقوة 0 يساوي 1. (\(a^0 = 1\) حيث \(a \neq 0\)).
2. بما أن \( \left( \frac{20}{17} \right)^{-2354} \neq 0 \), فإن رفع كل التعبير للقوة 0 يعطي 1.
3. النتيجة النهائية: \( 1 \).