🌟 الصفحة المرجعية الشاملة

I. القوى في مجموعة الأعداد الكسرية النسبية $\mathbb{Q}$

1 تعريف القوة

نشاط 1 - اكتشف القوى

أحسب:

$a = \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right)$

$b = \left(-\frac{3}{4}\right) \times \left(-\frac{3}{4}\right)$

$c = \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right)$

العدد $a$ هو جداء لثلاثة أعداد مساوية للعدد $\left(-\frac{1}{2}\right)$

$$a = \left(-\frac{1}{2}\right)^3$$

نعبر عن ذلك بالكتابة التالية:

كذلك نكتب:

$$b = \left(-\frac{3}{4}\right)^2$$

$$c = \left(-\frac{2}{3}\right)^5$$

تعريف القوة

إذا كان $x$ عددًا كسريًا نسبيًا و $n$ عددًا صحيحًا طبيعيًا أكبر من 1 فإن الكتابة $x^n$ ترمز لجداء $n$ أعداد مساوية للعدد $x$

$$x^n = \underbrace{x \times x \times x \times \dots \times x}_{n \text{ مرة}}$$

                                • الكتابة $x^n$ تُسمى قوة للعدد $x$

                                • العدد $n$ يُسمى دليل هذه القوة

قراءة القوى

• $x^2$ يُقرأ "x قوة إثنان" أو "x مربع"

• $x^3$ يُقرأ "x قوة ثلاثة" أو "x مكعب"

• $x^1 = x$

• $x^0 = 1$ إذا كان $x$ عددًا مخالفًا للصفر

أمثلة محلولة

$\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

$\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{16}{81}$

$\left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{125}{8}$

$\left(-\frac{2}{3}\right)^5 = -\frac{32}{243}$

نصائح ذهبية

إذا كان أساس سالباً ودليل القوة زوجي $\rightarrow$ النتيجة موجبة
إذا كان أساس سالباً ودليل القوة فردي $\rightarrow$ النتيجة سالبة
أي عدد مرفوع للدليل القوة صفر يساوي 1
أي عدد مرفوع للدليل القوة 1 يساوي نفسه

🎯 تمرين تفاعلي 1 - حساب القوى

أحسب: $\left(-\frac{1}{2}\right)^3$

النتيجة (بالكتابة العشرية):

المربعات الكاملة (في $\mathbb{Q}$)

📐 ما هو المربع الكامل؟

نشاط 3 - اكتشف المربعات الكاملة

أكتب كل عدد من الأعداد التالية في صورة مربع لعدد كسري:

$$\frac{4}{9} ; \frac{25}{16} ; \frac{121}{100} ; \frac{81}{49} ; \frac{9}{4}$$

الحل:

$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

$\frac{25}{16} = \left(\frac{5}{4}\right)^2$

$\frac{121}{100} = \left(\frac{11}{10}\right)^2$

$\frac{81}{49} = \left(\frac{9}{7}\right)^2$

$\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$

ملاحظة: تُسمى هذه الأعداد مربعات كاملة لأنها يمكن كتابتها في صورة قوة دليلها 2

تعريف المربع الكامل

المربع الكامل هو كل عدد كسري نسبي موجب يمكن كتابته في صورة مربع لعدد كسري نسبي.

بالتالي، الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة $a^2$ حيث $a$ عدد كسري نسبي، هي مربعات كاملة.

أمثلة على المربعات الكاملة

$\frac{1}{4}, \frac{9}{4}, \frac{25}{9}, \frac{49}{16}, \frac{81}{25}, \frac{121}{49}, \dots$ (مربعات كسرية)

$0.25 = (0.5)^2$

$6.25 = (2.5)^2$

$\frac{16}{9} = \left(\frac{4}{3}\right)^2$

$\frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$

🎯 تمرين تفاعلي 2 - المربعات الكاملة

ما هي المربعات الكاملة من بين الأعداد التالية:

$$\frac{4}{9}, \frac{9}{2}, \frac{15}{4}, \frac{16}{25}, \frac{40}{9}, \frac{49}{16}, \frac{25}{4}$$

أدخل الأعداد مفصولة بفواصل:

الجذر التربيعي لمربع كامل (في $\mathbb{Q}$)

√ تعريف الجذر التربيعي

تعريف الجذر التربيعي

الجذر التربيعي لعدد كسري نسبي موجب $a$ هو العدد الكسري النسبي الموجب الوحيد $x$ الذي مربعه يساوي $a$.

ونرمز له بالرمز $\sqrt{a}$.

لأي عدد كسري نسبي موجب $a$: $$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$$

أمثلة على الجذر التربيعي

$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ (يُقرأ: الجذر التربيعي لـ 9/4 يساوي 3/2)

$\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} \quad \text{يعني} \quad \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$

$\sqrt{42.25} = 6.5 \quad \text{يعني} \quad (6.5)^2 = 42.25$

$\sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{9}{7}$

$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} ; \quad \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} ; \quad \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} ; \quad \sqrt{1} = 1$

🎯 تمرين تفاعلي 3 - الجذر التربيعي

أحسب: $\sqrt{\frac{49}{100}}$

النتيجة (بالكتابة العشرية):

القوى السالبة

⚡ القوى ذات دليل القوة السالب

نشاط 5 - اكتشف القوى السالبة

1-أ) أعط الكتابة الكسرية لمقلوب العدد $\left(\frac{2}{3}\right)^2$

مقلوب $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ = مقلوب $\frac{4}{9}$ = $\frac{9}{4}$

ب) أتمم حسب التعريف:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$

تعريف القوة السالبة

إذا كان $x$ عددًا كسريًا نسبيًا مخالفًا للصفر و $n$ عددًا صحيحًا طبيعيًا فإن الكتابة $x^{-n}$ ترمز لمقلوب $x^n$.

$$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$$

أمثلة محلولة

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

$\left(-\frac{1}{5}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(-\frac{1}{5}\right)^3} = \left(-\frac{5}{1}\right)^3 = (-5)^3 = -125$

$\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{16}{9}$

تنبيهات مهمة:

• القوة السالبة تعني المقلوب

• $a^{-n} \neq -a^n$

• $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$

🎯 تمرين تفاعلي 4 - القوى السالبة

أحسب: $\left(\frac{3}{5}\right)^{-3}$

البسط: المقام:

II. خاصيات القوى في المجموعة $\mathbb{Q}$

⚙️ الخاصيات أساسية للقوى

خاصيات القوى في المجموعة $\mathbb{Q}$ هي امتداد لخاصيات القوى في $\mathbb{Z}$

الخاصية 1: ضرب قوى لنفس أساس

$$a^n \times a^m = a^{n+m}$$

عند ضرب قوى لنفس أساس نجمع أسس

الخاصية 2: قوة القوة

$$\left(a^n\right)^m = a^{n \times m}$$

قوة القوة تعني ضرب أسس

الخاصية 3: قوة الجداء

$$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$

قوة الجداء تساوي جداء القوى

الخاصية 4: قسمة قوى لنفس أساس

$$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$

عند قسمة قوى لنفس أساس نطرح أسس

الخاصية 5: قوة القسمة

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

قوة القسمة تساوي قسمة القوى

أمثلة تطبيقية

$\left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243}$

$\left(\left(\frac{2}{5}\right)^2\right)^4 = \left(\frac{2}{5}\right)^8$

$\left(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3$

$\frac{\left(\frac{4}{5}\right)^5}{\left(\frac{4}{5}\right)^2} = \left(\frac{4}{5}\right)^3$

$\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$

تمرين شامل 1 - ضرب القوى

أحسب: $(0.25)^3 \times (0.25)^{-1}$

النتيجة (بالكتابة العشرية):

تمرين شامل 2 - قوة القوة

أكتب في صورة قوة لعدد كسري: $\left((0.5)^2\right)^3$

أساس (بالكتابة العشرية): دليل القوة:

قوى العدد 10 (جزء أساسي من $\mathbb{Q}$)

🔟 أهمية قوى العدد 10

نشاط 1 - قوى العدد 10

قوى العدد 10 هي دليل القوة التعامل مع الأعداد الكسرية العشرية:

العدد على صورة قوة لـ 10	$10^{-2}$	$10^{-1}$	$10^{0}$	$10^{1}$	$10^{3}$
الكتابة الكسرية (المختزلة)	1/100	1/10	1/1	10/1	1000/1
الكتابة العشرية	0.01	0.1	1	10	1000

قاعدة قوى العدد 10

• إذا كان $n$ موجبًا: $10^n$ هو عدد صحيح يمثل 1 متبوع بـ $n$ من الأصفار.

• إذا كان $n$ سالبًا: $10^{-n}$ هو عدد كسري عشري يمثل 0. متبوع بـ $(n-1)$ من الأصفار ثم 1 (أي $\frac{1}{10^n}$).

$10^5 = 100000$

$10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$

$10^0 = 1$

أمثلة على العمليات بقوى العدد 10 (في $\mathbb{Q}$)

$2.35 \times 10^2 = 235$

$789 \times 10^{-4} = 0.0789$

$0.0362 \times 10^7 = 362000$

$\left(\frac{1}{4}\right) \times 10^3 = 250$

نصائح للعمل مع قوى العدد 10

الضرب في $10^n$ (و $n$ موجب): نزيح الفاصلة بـ $n$ خانة نحو اليمين
الضرب في $10^{-n}$ (و $n$ سالب): نزيح الفاصلة بـ $n$ خانة نحو اليسار

🎯 تمرين تفاعلي 6 - قوى العدد 10

أحسب: $0.00314 \times 10^5$

النتيجة:

الكتابة العلمية

📊 تعريف الكتابة العلمية

نشاط 6 - اكتشف الكتابة العلمية

أ) أتمم الفراغات (كلها أعداد كسرية):

$0.00243 = 0.243 \times 10^{-2}$

$0.00243 = 2.43 \times 10^{-3}$

$0.00243 = 24.3 \times 10^{-4}$

كل هذه الكتابات هي كتابات على صورة $a \times 10^n$ للعدد العشري $0.00243$

في أي كتابة منها يستجيب العدد $a$ للشرطين التاليين:

• له رقم واحد قبل الفاصل

• وهذا الرقم لا يساوي 0 ؟

تعريف الكتابة العلمية

الكتابة العلمية لعدد عشري (وهو عدد كسري) هي كتابته على صورة $a \times 10^n$ حيث:

• $n$ عدد صحيح نسبي

• $a$ عدد عشري ذو رقم واحد قبل الفاصل وهذا الرقم مخالف للرقم 0

$$a \times 10^n \quad \text{حيث} \quad 1 \le |a| < 10$$

أمثلة على الكتابة العلمية (لأعداد كسرية)

$65487.456 = 6.5487456 \times 10^4$

$0.000954 = 9.54 \times 10^{-4}$

سبعة عشر ملياراً $(17000000000) = 1.7 \times 10^{10}$

مائة وخمسة وثلاثون مليوناً $(135000000) = 1.35 \times 10^8$

أمثلة على كتابات ليست علمية:

• $10.31 \times 10^{12}$ (الرقم قبل الفاصلة أكبر من 10)

• $0.981 \times 10^{-3}$ (الرقم قبل الفاصلة أقل من 1)

كيف تكتب عدداً بالكتابة العلمية؟

للأعداد الكبيرة: حرك الفاصلة نحو اليسار ودليل القوة موجب
للأعداد الصغيرة: حرك الفاصلة نحو اليمين ودليل القوة سالب
عدد الخانات المزاحة = قيمة دليل القوة

🎯 تمرين تفاعلي 7 - الكتابة العلمية

أعط الكتابة العلمية للعدد: $9452.457$

a = n =

📝 تمارين شاملة وتفاعلية

تمرين شامل 1 - ضرب القوى (في $\mathbb{Q}$)

أحسب: $(0.25)^3 \times (0.25)^{-1}$

النتيجة (بالكتابة العشرية):

تمرين شامل 2 - قوة القوة (في $\mathbb{Q}$)

أكتب في صورة قوة لعدد كسري: $\left((0.5)^2\right)^3$

أساس (بالكتابة العشرية): دليل القوة:

تمرين شامل 3 - الكتابة العلمية (في $\mathbb{Q}$)

أحسب وأعط الكتابة العلمية: $\left(3 \times 10^4\right) \times \left(2 \times 10^{-2}\right)$

a = n =

🏆 تهانينا القلبية! 🏆

أنت الآن أتقنت جميع مفاهيم القوى في مجموعة الأعداد الكسرية النسبية!

✅ القوى الموجبة والسالبة
✅ المربعات الكاملة والجذر التربيعي
✅ خاصيات القوى
✅ قوى العدد 10
✅ الكتابة العلمية

استمر في التدريب وستصبح خبيراً في الرياضيات! 🌟

نقاطك 🏆

🌟 المرجع الشامل للقوى في مجموعة $\mathbb{Q}$ 🌟

I. القوى في مجموعة الأعداد الكسرية النسبية $\mathbb{Q}$

1 تعريف القوة

نشاط 1 - اكتشف القوى

تعريف القوة

قراءة القوى

أمثلة محلولة

نصائح ذهبية

المربعات الكاملة (في $\mathbb{Q}$)

📐 ما هو المربع الكامل؟

نشاط 3 - اكتشف المربعات الكاملة

تعريف المربع الكامل

أمثلة على المربعات الكاملة

الجذر التربيعي لمربع كامل (في $\mathbb{Q}$)

√ تعريف الجذر التربيعي

تعريف الجذر التربيعي

أمثلة على الجذر التربيعي

القوى السالبة

⚡ القوى ذات دليل القوة السالب

نشاط 5 - اكتشف القوى السالبة

تعريف القوة السالبة

أمثلة محلولة

II. خاصيات القوى في المجموعة $\mathbb{Q}$

⚙️ الخاصيات أساسية للقوى

الخاصية 1: ضرب قوى لنفس أساس

الخاصية 2: قوة القوة

الخاصية 3: قوة الجداء

الخاصية 4: قسمة قوى لنفس أساس

الخاصية 5: قوة القسمة

أمثلة تطبيقية

قوى العدد 10 (جزء أساسي من $\mathbb{Q}$)

🔟 أهمية قوى العدد 10

نشاط 1 - قوى العدد 10

قاعدة قوى العدد 10

أمثلة على العمليات بقوى العدد 10 (في $\mathbb{Q}$)

نصائح للعمل مع قوى العدد 10

الكتابة العلمية

📊 تعريف الكتابة العلمية

نشاط 6 - اكتشف الكتابة العلمية

تعريف الكتابة العلمية

أمثلة على الكتابة العلمية (لأعداد كسرية)

كيف تكتب عدداً بالكتابة العلمية؟

📝 تمارين شاملة وتفاعلية

🏆 تهانينا القلبية! 🏆