1) \( c = \sqrt{0.18 \times 10^{-4}} \)
نبسط داخل الجذر: \( 0.18 \times 10^{-4} = 0.000018 \).
نأخذ الجذر التربيعي: \( \sqrt{0.000018} = \sqrt{1.8 \times 10^{-5}} = \sqrt{1.8} \times 10^{-2.5} \approx 1.34 \times 10^{-2.5} \).
النتيجة: \( \approx 1.34 \times 10^{-2.5} \)
2) \( b = \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{5}\right)^3 \)
نحسب المجموع: \( \frac{1}{2} = 0.5 \), \( \frac{3}{4} = 0.75 \), \( \frac{1}{5} = 0.2 \).
\( 0.5 + 0.75 - 0.2 = 1.05 \).
نرفع إلى القوة 3: \( (1.05)^3 \approx 1.157625 \).
النتيجة: \( \approx 1.157625 \)
3) \( a = \left(\frac{-2}{4} - \frac{3}{6}\right)^3 \)
نبسط: \( \frac{-2}{4} = -0.5 \), \( \frac{3}{6} = 0.5 \).
\( -0.5 - 0.5 = -1 \).
نرفع إلى القوة 3: \( (-1)^3 = -1 \).
النتيجة: \( -1 \)
4) \( f = \left(-\frac{4}{3}\right)^2 \times 6 + 5^{-1} \)
دليل القوة 2 زوجي: \( \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \).
\( 5^{-1} = \frac{1}{5} \).
نضرب ونضف: \( \frac{16}{9} \times 6 + \frac{1}{5} = \frac{96}{9} + \frac{1}{5} = 10.666 + 0.2 = 10.866 \).
النتيجة: \( \approx 10.866 \)
5) \( e = \left(\frac{3}{2}\right)^3 \times \frac{81}{\sqrt{64}} \)
\( \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8} \).
\( \sqrt{64} = 8 \), \( \frac{81}{8} \).
نضرب: \( \frac{27}{8} \times \frac{81}{8} = \frac{2187}{64} \).
النتيجة: \( \frac{2187}{64} \)
6) \( d = \sqrt{\frac{8 \times 10^3}{1000 \times 10^7}} \)
نبسط: \( 1000 \times 10^7 = 10^{10} \).
\( \frac{8 \times 10^3}{10^{10}} = 8 \times 10^{-7} \).
\( \sqrt{8 \times 10^{-7}} = \sqrt{8} \times 10^{-3.5} \approx 2.828 \times 10^{-3.5} \).
النتيجة: \( \approx 2.828 \times 10^{-3.5} \)
7) \( c = \frac{(-7)^2 \times (-7)^8}{(-7)^7} \)
نجمع أسس العلوية: \( (-7)^2 \times (-7)^8 = (-7)^{2 + 8} = (-7)^{10} \).
نطرح: \( \frac{(-7)^{10}}{(-7)^7} = (-7)^{10 - 7} = (-7)^3 \).
النتيجة: \( (-7)^3 \)
8) \( b = \left[\left(-\frac{5}{3}\right)^2\right]^3 \times \frac{25}{9} \)
دليل القوة 2 زوجي: \( \left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \).
نرفع إلى القوة 3: \( \left(\frac{25}{9}\right)^3 = \frac{15625}{729} \).
نضرب: \( \frac{15625}{729} \times \frac{25}{9} = \frac{390625}{6561} \).
النتيجة: \( \frac{390625}{6561} \)
9) \( a = \left(\frac{3}{4}\right)^5 \times \left(\frac{3}{4}\right)^7 \)
نجمع أسس: \( \left(\frac{3}{4}\right)^5 \times \left(\frac{3}{4}\right)^7 = \left(\frac{3}{4}\right)^{5 + 7} = \left(\frac{3}{4}\right)^{12} \).
النتيجة: \( \left(\frac{3}{4}\right)^{12} \)
10) \( c = \left(\frac{1}{8}\right)^3 \times 2^4 \)
\( \left(\frac{1}{8}\right)^3 = \frac{1}{512} \).
\( 2^4 = 16 \).
نضرب: \( \frac{1}{512} \times 16 = \frac{16}{512} = \frac{1}{32} \).
النتيجة: \( \frac{1}{32} \)
11) \( b = 2^3 \times 2^{-5} \times 2^2 \)
نجمع أسس: \( 2^3 \times 2^{-5} \times 2^2 = 2^{3 - 5 + 2} = 2^0 = 1 \).
النتيجة: \( 1 \)
12) \( a = (-1)^3 \)
دليل القوة 3 فردي: \( (-1)^3 = -1 \).
النتيجة: \( -1 \)
13) \( f = \sqrt{9^2 + 19 + \sqrt{25}} \)
\( 9^2 = 81 \), \( \sqrt{25} = 5 \).
\( 81 + 19 + 5 = 105 \).
\( \sqrt{105} \approx 10.246 \).
النتيجة: \( \approx 10.246 \)
14) \( e = 10^9 \times 10^{-7} \times 1000 \)
\( 1000 = 10^3 \).
نجمع أسس: \( 10^9 \times 10^{-7} \times 10^3 = 10^{9 - 7 + 3} = 10^5 \).
النتيجة: \( 10^5 \)
15) \( d = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \)
نجمع أسس: \( \left(-\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^{3 + 2} = \left(-\frac{1}{3}\right)^5 \).
دليل القوة 5 فردي: \( \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -\frac{1}{243} \).
النتيجة: \( -\frac{1}{243} \)
16) \( c = \frac{100 \times (10^{-1})^2}{10^{12}} \)
\( (10^{-1})^2 = 10^{-2} \).
\( 100 \times 10^{-2} = 10^2 \times 10^{-2} = 10^0 \).
\( \frac{10^0}{10^{12}} = 10^{0 - 12} = 10^{-12} \).
النتيجة: \( 10^{-12} \)
17) \( B = \left(-\frac{4}{7}\right)^3 \times \left(\frac{4}{7}\right)^{12} \)
دليل القوة 3 فردي: \( \left(-\frac{4}{7}\right)^3 = -\frac{64}{343} \).
نجمع أسس: \( -\frac{64}{343} \times \left(\frac{4}{7}\right)^{12} = -\frac{64}{343} \times \left(\frac{4}{7}\right)^{12} \).
النتيجة: \( -\frac{64}{343} \times \left(\frac{4}{7}\right)^{12} \)
18) \( A = 2^{-16} \times 5^{-16} \)
نضرب أسس المختلفة: \( 2^{-16} \times 5^{-16} = (2 \times 5)^{-16} = 10^{-16} \).
النتيجة: \( 10^{-16} \)
19) \( F = \left[\left(\frac{2}{5}\right)^3\right] \times \left(\frac{2}{5}\right)^6 \times \frac{4}{25} \)
\( \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125} \).
نجمع أسس: \( \frac{8}{125} \times \left(\frac{2}{5}\right)^6 = \left(\frac{2}{5}\right)^{3 + 6} = \left(\frac{2}{5}\right)^9 \).
\( \frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 \).
النتيجة: \( \left(\frac{2}{5}\right)^9 \times \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^{11} \).
النتيجة: \( \left(\frac{2}{5}\right)^{11} \)
20) \( E = \left[\left(-\frac{5}{3}\right)^5\right]^3 \times \frac{25}{9} \)
نضرب أسس: \( \left(-\frac{5}{3}\right)^5 = -\frac{3125}{243} \).
\( \left(-\frac{3125}{243}\right)^3 = -\frac{30517578125}{14348907} \).
نضرب: \( -\frac{30517578125}{14348907} \times \frac{25}{9} \).
النتيجة: \( -\frac{30517578125 \times 25}{14348907 \times 9} \)
21) \( D = \left(\frac{2}{5}\right)^3 \)
\( \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125} \).
النتيجة: \( \frac{8}{125} \)
22) \( b = \frac{70}{H} \times 10^{-2} \)
\( 10^{-2} = 0.01 \).
النتيجة تعتمد على قيمة \( H \): \( \frac{70}{H} \times 0.01 = \frac{0.7}{H} \).
النتيجة: \( \frac{0.7}{H} \)
23) \( D = \frac{0.7}{0.9} \)
\( \frac{0.7}{0.9} \approx 0.7778 \).
النتيجة: \( \approx 0.7778 \)