1) \( (6.3)^5 \times (6.3)^{-12} \)
نجمع أسس للدليل القوة المشترك \(6.3\):
\[ (6.3)^5 \times (6.3)^{-12} = (6.3)^{5 - 12} = (6.3)^{-7} = \frac{1}{(6.3)^7} \]
النتيجة: \( \frac{1}{(6.3)^7} \)
2) \( (-4)^{-2} \times (-4)^7 \)
نجمع أسس للدليل القوة \(-4\):
\[ (-4)^{-2} \times (-4)^7 = (-4)^{-2 + 7} = (-4)^5 \]
النتيجة: \( (-4)^5 \)
3) \( 3^2 \times 3^5 \)
نجمع أسس للدليل القوة \(3\):
\[ 3^2 \times 3^5 = 3^{2 + 5} = 3^7 \]
النتيجة: \( 3^7 \)
4) \( \left(-\frac{6}{11}\right)^8 \times \left(\frac{6}{11}\right)^3 \)
دليل القوة 8 زوجي، لذا: \[ \left(-\frac{6}{11}\right)^8 = \left(\frac{6}{11}\right)^8 \].
نجمع أسس: \[ \left(\frac{6}{11}\right)^8 \times \left(\frac{6}{11}\right)^3 = \left(\frac{6}{11}\right)^{8 + 3} = \left(\frac{6}{11}\right)^{11} \]
النتيجة: \( \left(\frac{6}{11}\right)^{11} \)
5) \( \left(-\frac{3}{2}\right)^{-8} \times (-0.75)^2 \)
نلاحظ أن \(-0.75 = -\frac{3}{4}\)، ودليل القوة 2 زوجي: \[ (-0.75)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \].
دليل القوة \(-8\) زوجي: \[ \left(-\frac{3}{2}\right)^{-8} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-8} = \left(\frac{2}{3}\right)^8 \].
نضرب: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^8 \times \frac{9}{16} \]
النتيجة: \( \left(\frac{2}{3}\right)^8 \times \frac{9}{16} \)
6) \( \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} \times \left(\frac{3}{7}\right)^{-5} \)
نجمع أسس: \[ \left(\frac{3}{7}\right)^{-4} \times \left(\frac{3}{7}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-4 - 5} = \left(\frac{3}{7}\right)^{-9} = \left(\frac{7}{3}\right)^9 \]
النتيجة: \( \left(\frac{7}{3}\right)^9 \)
7) \( \left[ (-8)^5 \right]^4 \)
نضرب أسس: \[ \left[ (-8)^5 \right]^4 = (-8)^{5 \times 4} = (-8)^{20} \]
النتيجة: \( (-8)^{20} \)
8) \( \left( 6^{-3} \right)^7 \)
نضرب أسس: \[ \left( 6^{-3} \right)^7 = 6^{-3 \times 7} = 6^{-21} = \frac{1}{6^{21}} \]
النتيجة: \( \frac{1}{6^{21}} \)
9) \( \left( 5^3 \right)^6 \)
نضرب أسس: \[ \left( 5^3 \right)^6 = 5^{3 \times 6} = 5^{18} \]
النتيجة: \( 5^{18} \)
10) \( 9^3 \times (-2)^3 \)
نحسب كل جزء:
\[ 9^3 = 729 \]
\[ (-2)^3 = -8 \]
نضرب: \[ 729 \times (-8) = -5832 \]
النتيجة: \( -5832 \)
11) \( 7^4 \times 5^5 \)
أساسان مختلفان:
\[ 7^4 = 2401 \]
\[ 5^5 = 3125 \]
نضرب: \[ 2401 \times 3125 = 7,503,125 \]
النتيجة: \( 7^4 \times 5^5 \)
12) \( \left[ \left(-\frac{5}{7}\right)^{-7} \right]^{-5} \)
نضرب أسس: \[ \left[ \left(-\frac{5}{7}\right)^{-7} \right]^{-5} = \left(-\frac{5}{7}\right)^{-7 \times -5} = \left(-\frac{5}{7}\right)^{35} \]
دليل القوة 35 فردي: \[ \left(-\frac{5}{7}\right)^{35} = -\left(\frac{5}{7}\right)^{35} \]
النتيجة: \( -\left(\frac{5}{7}\right)^{35} \)
13) \( \frac{7^5}{7^2} \)
نطرح أسس: \[ \frac{7^5}{7^2} = 7^{5 - 2} = 7^3 \]
النتيجة: \( 7^3 \)
14) \( \left(\frac{5}{14}\right)^8 \times \left(\frac{-7}{4}\right)^8 \)
دليل القوة 8 زوجي: \[ \left(\frac{-7}{4}\right)^8 = \left(\frac{7}{4}\right)^8 \].
نضرب الكسور: \[ \left(\frac{5}{14}\right)^8 \times \left(\frac{7}{4}\right)^8 = \left(\frac{5 \times 7}{14 \times 4}\right)^8 = \left(\frac{5}{8}\right)^8 \]
النتيجة: \( \left(\frac{5}{8}\right)^8 \)
15) \( \left(\frac{-1.1}{-2.19}\right)^{-6} \times 4^{-6} \)
نبسط الكسر: \[ \frac{-1.1}{-2.19} = \frac{1.1}{2.19} \].
دليل القوة \(-6\): \[ \left(\frac{1.1}{2.19}\right)^{-6} = \left(\frac{2.19}{1.1}\right)^6 \].
نضرب: \[ \left(\frac{2.19}{1.1}\right)^6 \times 4^{-6} \]
النتيجة: \( \left(\frac{2.19}{1.1}\right)^6 \times 4^{-6} \)
16) \( \left(\frac{-2.19}{2.19}\right)^{-4} \)
نبسط: \[ \frac{-2.19}{2.19} = -1 \].
دليل القوة \(-4\) زوجي: \[ (-1)^{-4} = \frac{1}{(-1)^4} = 1 \]
النتيجة: \( 1 \)
17) \( \frac{(-3)^{-6}}{(-3)^7} \)
نطرح أسس: \[ \frac{(-3)^{-6}}{(-3)^7} = (-3)^{-6 - 7} = (-3)^{-13} = \frac{1}{(-3)^{13}} \]
النتيجة: \( \frac{1}{(-3)^{13}} \)
18) \( \frac{(9.5)^4}{(9.5)^{10}} \)
نطرح أسس: \[ \frac{(9.5)^4}{(9.5)^{10}} = (9.5)^{4 - 10} = (9.5)^{-6} = \frac{1}{(9.5)^6} \]
النتيجة: \( \frac{1}{(9.5)^6} \)
19) \( \frac{9^5}{4^5} \)
أساسان مختلفان: \[ \frac{9^5}{4^5} = \left(\frac{9}{4}\right)^5 \]
نحسب: \[ 9^5 = 59049 \]، \[ 4^5 = 1024 \]، \[ \frac{59049}{1024} \]
النتيجة: \( \left(\frac{9}{4}\right)^5 \)
20) \( \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{-9}}{\left(\frac{5}{2}\right)^6} \)
نطرح أسس: \[ \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{-9}}{\left(\frac{5}{2}\right)^6} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-9 - 6} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-15} = \left(\frac{2}{5}\right)^{15} \]
النتيجة: \( \left(\frac{2}{5}\right)^{15} \)
21) \( \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^5}{\left(\frac{5}{2}\right)^7} \)
نطرح أسس: \[ \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^5}{\left(\frac{5}{2}\right)^7} = \left(\frac{5}{2}\right)^{5 - 7} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \]
النتيجة: \( \frac{4}{25} \)
22) \( \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{-7}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{-3}} \)
نطرح أسس: \[ \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{-7}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{-3}} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-7 - (-3)} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625} \]
النتيجة: \( \frac{16}{625} \)
23) \( \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{-9}}{\left(\frac{10}{2}\right)^{-6}} \)
نبسط: \[ \frac{10}{2} = 5 \]، لذا: \[ \left(\frac{10}{2}\right)^{-6} = 5^{-6} \].
التعبير: \[ \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{-9}}{5^{-6}} = \frac{5^{-9} \times 2^9}{5^{-6}} = 5^{-9 + 6} \times 2^9 = 5^{-3} \times 2^9 = \frac{2^9}{5^3} = \frac{512}{125} \]
النتيجة: \( \frac{512}{125} \)
24) \( \frac{(-9)^{-11}}{2.11} \)
دليل القوة \(-11\) فردي: \[ (-9)^{-11} = \frac{1}{(-9)^{11}} = -\frac{1}{9^{11}} \].
نقسم: \[ \frac{-\frac{1}{9^{11}}}{2.11} = -\frac{1}{9^{11} \times 2.11} \]
النتيجة: \( -\frac{1}{9^{11} \times 2.11} \)
25) \( \frac{3^7 \times 2^{-4}}{3^2 \times 2^{-3}} \)
نفصل أساسين: \[ \frac{3^7 \times 2^{-4}}{3^2 \times 2^{-3}} = 3^{7 - 2} \times 2^{-4 - (-3)} = 3^5 \times 2^{-1} = \frac{3^5}{2} \]
النتيجة: \( \frac{3^5}{2} \)
26) \( \frac{7^2 \times 7^4}{\left[\left(\frac{4}{2}\right)^{-2}\right]} \)
نبسط المقام: \[ \frac{4}{2} = 2 \]، \[ \left(\frac{4}{2}\right)^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \].
التعبير: \[ \frac{7^2 \times 7^4}{\frac{1}{4}} = 7^{2 + 4} \times 4 = 7^6 \times 4 \]
النتيجة: \( 7^6 \times 4 \)
27) \( \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{-8}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{-8}} \)
البسط والمقام متساويان: \[ \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{-8}}{\left(\frac{5}{2}\right)^{-8}} = 1 \]
النتيجة: \( 1 \)