تصحيح مفصّل — التمرين 18
أ) \(A\)
\(\;\left(\frac{1}{10}\right)^{-3}=10^{3}\Rightarrow 10^{3}\cdot10^{5}=10^{8}\)
\(\;\left(\frac{1}{10000}\right)^{41}=(10^{-4})^{41}=10^{-164}\)
\(\;(100)^{-5}=(10^{2})^{-5}=10^{-10}\Rightarrow\) المقام \(=10^{-164}\cdot10^{-10}=10^{-174}\)
\(\;A=\dfrac{10^{8}}{10^{-174}}=10^{8-(-174)}=10^{182}\)
ب) \(B\)
\(\;0.001=10^{-3}\Rightarrow(0.001)^{-4}=10^{12}\)
البسط \(=10^{12}\cdot10^{-6}=10^{6}\)
\(\;1000=10^{3}\Rightarrow(1000)^{-3}=10^{-9}\)
المقام \(=10^{7}\cdot10^{-9}=10^{-2}\)
\(\;B=\dfrac{10^{6}}{10^{-2}}=10^{8}\)
ج) \(C\)
\(\;(0.001)^{-2}=(10^{-3})^{-2}=10^{6}\)
\(\;\left(\frac{1}{10000}\right)^{4}=(10^{-4})^{4}=10^{-16}\Rightarrow\) البسط \(=10^{6}\cdot10^{-16}=10^{-10}\)
\(\;\left(\frac{1}{100}\right)^{-3}=(10^{-2})^{-3}=10^{6}\)
المقام \(=10^{-2}\cdot10^{6}=10^{4}\)
\(\;C=\dfrac{10^{-10}}{10^{4}}=10^{-14}\)
د) \(G\)
\(\;-3\cdot2^{3}=-3\cdot8=-24\Rightarrow(-24)^{3}=-13824\)
\(\;8\cdot9=72\Rightarrow(72)^{2}=5184\)
\(\;G=\dfrac{-13824}{5184}=-\dfrac{8}{3}\)
هـ) \(H\)
\(\;-\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{21}=-\frac{24}{84}=-\frac{2}{7}\Rightarrow\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{4}{49}\)
المقام: \(\left(\frac{2}{7}\right)^{2}\cdot\left(-\frac{81}{16}\right)=\frac{4}{49}\cdot\left(-\frac{81}{16}\right)=-\frac{81}{196}\)
\(\;H=\dfrac{\frac{4}{49}}{-\frac{81}{196}}=\frac{4}{49}\cdot\frac{196}{-81}=-\frac{16}{81}\)
و) \(I\)
الإشارات: \((−2)^{7}\) سالب، \((−6)^{5}\) سالب، \((−3)^{10}\) موجب ⇒ البسط موجب. المقام فيه \((−12)^{3}\) سالب ⇒ الكسر سالب.
\((−2)^{7}=−2^{7}\), \((−6)^{5}=−6^{5}=−(2\cdot3)^{5}=−2^{5}3^{5}\), و\((−3)^{10}=3^{10}\)
مقدار البسط: \(2^{7}\cdot2^{5}\cdot3^{5}\cdot3^{10}=2^{12}\cdot3^{15}\)
المقام: \(18^{4}=(2\cdot3^{2})^{4}=2^{4}3^{8}\) و \((−12)^{3}=−(2^{2}\cdot3)^{3}=−2^{6}3^{3}\)
مقدار المقام: \(2^{4+6}\cdot3^{8+3}=2^{10}\cdot3^{11}\) والإشارة سالبة
إذن:
\[
I=-\frac{2^{12}3^{15}}{2^{10}3^{11}}=-2^{2}\cdot3^{4}=-4\cdot81=-324
\]
ز) \(K\)
\((a^{2}a^{3})^{-3}=(a^{5})^{-3}=a^{-15}\)
\((ab)^{5}=a^{5}b^{5}\)
إذن:
\[
K=a^{-15}\cdot a^{5}b^{5}\cdot a^{-5}b^{4}=a^{-15}\cdot b^{9}=\frac{b^{9}}{a^{15}}
\]
ح) \(L\)
\((−2a^{2})^{3}=(−2)^{3}a^{6}=−8a^{6}\)
\((3b^{3}a^{-2})\cdot6=18b^{3}a^{-2}\)
\((ab^{6})^{-1}=a^{-1}b^{-6}\)
نجمع:
\[
L=(−8a^{6})\cdot(18b^{3}a^{-2})\cdot(a^{-1}b^{-6})
=−144\;a^{6-2-1}\;b^{3-6}
=−144\frac{a^{3}}{b^{3}}
\]
ط) \(M\)
\((ab^{-1}c^{3})^{2}=a^{2}b^{-2}c^{6}\)
\((abc^{3})^{-3}=a^{-3}b^{-3}c^{-9}\)
بسط الكسر: \(a^{2-3}b^{-2-3}c^{6-9}=a^{-1}b^{-5}c^{-3}\)
\((ab^{2}c)^{-2}=a^{-2}b^{-4}c^{-2}\)
مقام الكسر: \(ab^{-4}\cdot a^{-2}b^{-4}c^{-2}=a^{-1}b^{-8}c^{-2}\)
القسمة:
\[
M=\frac{a^{-1}b^{-5}c^{-3}}{a^{-1}b^{-8}c^{-2}}
=b^{-5-(-8)}c^{-3-(-2)}=b^{3}c^{-1}=\frac{b^{3}}{c}
\]
ي) \(S\)
\((7^{3}\cdot5^{-2})^{3}=7^{9}\cdot5^{-6}\)
\((5^{3}\cdot7^{-5})^{-2}=5^{-6}\cdot7^{10}\)
\(\;S=\dfrac{7^{9}\cdot5^{-6}}{5^{-6}\cdot7^{10}}=7^{9-10}=7^{-1}=\dfrac{1}{7}\)
ك) \(N\)
\((−a^{2}b^{3})^{3}=−a^{6}b^{9}\) و \((−ab^{2})^{2}=a^{2}b^{4}\)
البسط: \(−a^{6}b^{9}\cdot a^{2}b^{4}=−a^{8}b^{13}\)
\((−a^{3}b^{2})^{5}=−a^{15}b^{10}\) و \((−a^{2}b)=−a^{2}b\)
المقام: \((−)\cdot(−)=+\Rightarrow a^{15+2}b^{10+1}=a^{17}b^{11}\)
\(\;N=\dfrac{−a^{8}b^{13}}{a^{17}b^{11}}=−a^{-9}b^{2}=−\dfrac{b^{2}}{a^{9}}\)