التمارين المستخرجة (باللغة العربية)

تصحيح تمرين 3 — حلّ المعادلات

القاعدة العامة: إذا كانت \(\dfrac{a}{b}x=c\) فإن \(x=c\div\dfrac{a}{b}=c\times\dfrac{b}{a}\) (مع الانتباه إلى الإشارات).

1. \(\;-\dfrac{2}{7}x=\dfrac{3}{14}\;\)

   نقسم الطرفين على \(-\dfrac{2}{7}\):

   \[ x=\frac{3}{14}\div\left(-\frac{2}{7}\right)=\frac{3}{14}\times\left(-\frac{7}{2}\right) =-\frac{21}{28}=-\frac{3}{4}. \]

   النتيجة: \(\;x=-\dfrac{3}{4}\).

2. \(\;-\dfrac{5}{6}x+1=\dfrac{1}{3}\;\)

   نطرح \(1\) من الطرفين:

   \[ -\frac{5}{6}x=\frac{1}{3}-1=\frac{1}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{2}{3}. \]

   ثم نقسم على \(-\dfrac{5}{6}\):

   \[ x=-\frac{2}{3}\div\left(-\frac{5}{6}\right)= -\frac{2}{3}\times\left(-\frac{6}{5}\right)=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}. \]

   النتيجة: \(\;x=\dfrac{4}{5}\).

3. \(\;\dfrac{2}{7}\left(x-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{3}{6}\;\)

   أولًا نختزل \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).

   نقسم الطرفين على \(\dfrac{2}{7}\):

   \[ x-\frac{5}{3}=\frac{1}{2}\div\frac{2}{7}=\frac{1}{2}\times\frac{7}{2}=\frac{7}{4}. \]

   ثم نضيف \(\dfrac{5}{3}\) للطرفين:

   \[ x=\frac{7}{4}+\frac{5}{3}=\frac{21}{12}+\frac{20}{12}=\frac{41}{12}. \]

   النتيجة: \(\;x=\dfrac{41}{12}\).

تصحيح تمرين 4 — تفكيك / قيمة عددية

المعطى:

1. 1-أ) نريد إثبات:

   \[ \frac{5}{28}x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\left(-\frac{5}{7}x+2\right). \]

   نقوم بتوسيع الطرف الأيمن:

   \[ -\frac{1}{4}\left(-\frac{5}{7}x+2\right) =\left(-\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{5}{7}x\right)+\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 2 =\frac{5}{28}x-\frac{1}{2}. \]

   إذن المساواة صحيحة.

   فكرة مهمة: عندما نرى حدّين مثل \(\frac{5}{28}x-\frac{1}{2}\) نحاول كتابتهما على شكل “عدد ثابت” مضروب في “عبارة مشتركة” حتى نصل للتفكيك.

   1-ب) باستعمال النتيجة السابقة:

   \[ A=\frac{3}{2}x\left(-\frac{5}{7}x+2\right) \;+\; \underbrace{\left(-\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{5}{7}x+2\right)}_{\frac{5}{28}x-\frac{1}{2}}. \]

   نلاحظ أن \(\left(-\frac{5}{7}x+2\right)\) عامل مشترك:

   \[ A=\left(\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{5}{7}x+2\right). \]

2. 2) احسب \(A\) إذا \(x=-\dfrac{7}{3}\).

   نستعمل التفكيك لتبسيط الحساب:

   \[ A=\left(\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{5}{7}x+2\right). \]

   أول عامل:

   \[ \frac{3}{2}\left(-\frac{7}{3}\right)-\frac{1}{4}=-\frac{7}{2}-\frac{1}{4}=-\frac{15}{4}. \]

   ثاني عامل:

   \[ -\frac{5}{7}\left(-\frac{7}{3}\right)+2=\frac{5}{3}+2=\frac{11}{3}. \]

   إذن:

   \[ A=-\frac{15}{4}\times\frac{11}{3}=-\frac{165}{12}=-\frac{55}{4}. \]

   النتيجة: \(\;A=-\dfrac{55}{4}\).

3. 3) إذا كانت العبارتان \(\;\dfrac{5}{28}x-\dfrac{1}{2}\;\) و \(\;\dfrac{3}{2}x\left(-\dfrac{5}{7}x+2\right)\;\) متقابلتين، فهذا يعني مجموعهما يساوي \(0\).

   أي:

   \[ \frac{5}{28}x-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}x\left(-\frac{5}{7}x+2\right)=0. \]

   لكن هذا هو بالضبط \(A\). إذن:

   \[ A=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left(\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{5}{7}x+2\right)=0. \]

   وبما أنّ جداء عددين يساوي صفرًا، فإمّا:

   • \(\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{4}=0 \Rightarrow \dfrac{3}{2}x=\dfrac{1}{4}\Rightarrow x=\dfrac{1}{6}\).
   • \(-\dfrac{5}{7}x+2=0 \Rightarrow -\dfrac{5}{7}x=-2\Rightarrow x=\dfrac{14}{5}\).

   النتيجة: \(\;x=\dfrac{1}{6}\) أو \(\;x=\dfrac{14}{5}\).

تصحيح المستوى الثالث — التمرين رقم 03

المعطى:

1. 1) نبسط خطوةً خطوة (مراعاة الأقواس):

   أول قوس:

   \[ -x-\left(\frac{1}{2}-y\right)+2=-x-\frac{1}{2}+y+2=-x+y+\frac{3}{2}. \]

   إذن:

   \[ -\left[-x-\left(\frac{1}{2}-y\right)+2\right]=-\left(-x+y+\frac{3}{2}\right)=x-y-\frac{3}{2}. \]

   القوس الثاني:

   \[ 3-\left(x-\frac{3}{5}\right)=3-x+\frac{3}{5}. \]

   إذن:

   \[ -\left[3-\left(x-\frac{3}{5}\right)\right]=-(3-x+\frac{3}{5})=-3+x-\frac{3}{5}. \]

   الآن نجمع كل الأجزاء:

   \[ E=-\frac{2}{5}+(x-y-\frac{3}{2})+\frac{5}{2}+(-3+x-\frac{3}{5})+(4-x). \]

   نجمع حدود \(x\): \(x+x-x=x\). وحدود \(y\): \(-y\).

   نجمع الثوابت:

   \[ -\frac{2}{5}-\frac{3}{5}=-1,\qquad -\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=1,\qquad -3+4=1. \]

   إذن مجموع الثوابت: \((-1)+1+1=1\).

   فنحصل على:

   \[ E=x-y+1. \]

2. 2) إذا كان \(E=\dfrac{5}{6}\) فبما أن \(E=x-y+1\) إذن:

   \[ x-y+1=\frac{5}{6}\Rightarrow x-y=\frac{5}{6}-1=\frac{5}{6}-\frac{6}{6}=-\frac{1}{6}. \]

   النتيجة: \(\;x-y=-\dfrac{1}{6}\).

3. 3) إذا كان \(E=0\) إذن:

   \[ x-y+1=0\Rightarrow x-y=-1. \]

   وهذا يعني \(x=y-1\)، أي \(x\) أصغر من \(y\) بمقدار \(1\).

   الاستنتاج: \(\;x<y\).

تصحيح المستوى الرابع — التمرين رقم 04

1. 1) احسب \(a,b,c\).

   أ)

   \[ a=-\frac{1}{2}-\left[\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{8}-1\right)\right]. \]

   نحسب داخل القوس الصغير:

   \[ \frac{1}{8}-1=\frac{1}{8}-\frac{8}{8}=-\frac{7}{8}. \]

   ثم داخل القوس الكبير:

   \[ \frac{1}{4}-\left(-\frac{7}{8}\right)=\frac{1}{4}+\frac{7}{8}=\frac{2}{8}+\frac{7}{8}=\frac{9}{8}. \]

   إذن:

   \[ a=-\frac{1}{2}-\frac{9}{8}=-\frac{4}{8}-\frac{9}{8}=-\frac{13}{8}. \]

   ب)

   \[ b=-\left(\frac{7}{3}+\frac{7}{2}\right)+\left[\frac{2}{3}-\left(-\frac{5}{3}-2\right)\right]. \]

   نجمع داخل القوس الأول:

   \[ \frac{7}{3}+\frac{7}{2}=\frac{14}{6}+\frac{21}{6}=\frac{35}{6}\Rightarrow -\left(\frac{35}{6}\right)=-\frac{35}{6}. \]

   داخل القوس الثاني: \(-\frac{5}{3}-2=-\frac{5}{3}-\frac{6}{3}=-\frac{11}{3}\).

   إذن:

   \[ \frac{2}{3}-\left(-\frac{11}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{11}{3}=\frac{13}{3}. \]

   وبالتالي:

   \[ b=-\frac{35}{6}+\frac{13}{3}=-\frac{35}{6}+\frac{26}{6}=-\frac{9}{6}=-\frac{3}{2}. \]

   ج)

   \[ c=3-\left|\frac{9}{5}-\frac{13}{3}\right|. \]

   نوحّد المقامات داخل القيمة المطلقة:

   \[ \frac{9}{5}-\frac{13}{3}=\frac{27}{15}-\frac{65}{15}=-\frac{38}{15}\Rightarrow \left|-\frac{38}{15}\right|=\frac{38}{15}. \]

   إذن:

   \[ c=3-\frac{38}{15}=\frac{45}{15}-\frac{38}{15}=\frac{7}{15}. \]

   النتائج: \(\;a=-\dfrac{13}{8},\; b=-\dfrac{3}{2},\; c=\dfrac{7}{15}\).

2. 2) الترتيب تصاعديًا (من الأصغر إلى الأكبر):

   نقارن: \(-\dfrac{13}{8}=-1.625\) و \(-\dfrac{3}{2}=-1.5\) و \(\dfrac{7}{15}\approx0.466...\).

   إذن: \(\;a<b<c\) أي \(-\dfrac{13}{8}<-\dfrac{3}{2}<\dfrac{7}{15}\).

3. 3) أثبت أن \(a-b\) عدد عشري نسبي.

   \[ a-b=-\frac{13}{8}-\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{13}{8}+\frac{12}{8}=-\frac{1}{8}. \]

   \(-\dfrac{1}{8}=-0.125\) عدد عشري منتهٍ، إذن هو عدد عشري نسبي.

4. 4) اكتب \(a-b\) على الشكل \(\dfrac{k}{10^n}\).

   بما أن \(-\dfrac{1}{8}=-0.125\) فإن:

   \[ -0.125=-\frac{125}{1000}=-\frac{125}{10^3}. \]

   إذن: \(\;a-b=-\dfrac{125}{10^3}\) (حيث \(k=-125\) و \(n=3\)).

تصحيح تمرين 15 — تبسيط عبارات ومقارنات

1. 1) بين أن \(E=-\dfrac{1}{2}-x\) و \(F=\dfrac{5}{8}-y\).

   تبسيط \(E\):

   \[ E=\left[y+\frac{7}{4}-\left(y+\frac{2}{3}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{4}+y\right)+x\right]-\frac{5}{6}+y. \]

   داخل القوس الأول:

   \[ y+\frac{7}{4}-(y+\frac{2}{3})=y+\frac{7}{4}-y-\frac{2}{3}=\frac{7}{4}-\frac{2}{3}=\frac{21}{12}-\frac{8}{12}=\frac{13}{12}. \]

   إذن:

   \[ E=\frac{13}{12}-\left(\frac{3}{4}+y+x\right)-\frac{5}{6}+y =\frac{13}{12}-\frac{3}{4}-y-x-\frac{5}{6}+y. \]

   حدا \(y\) يتلاشيان، ونوحّد المقامات:

   \[ \frac{13}{12}-\frac{3}{4}-\frac{5}{6}=\frac{13}{12}-\frac{9}{12}-\frac{10}{12}=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}. \]

   إذن \(E=-\dfrac{1}{2}-x\).

   تبسيط \(F\):

   \[ F=-\left[\left(\frac{9}{2}-x\right)-(3+y)\right]-(x+y-\frac{5}{4})+\left(\frac{7}{8}-y\right). \]

   داخل القوس:

   \[ \left(\frac{9}{2}-x\right)-(3+y)=\frac{9}{2}-x-3-y=\frac{3}{2}-x-y. \]

   ثم الإشارة السالبة أمامه:

   \[ -\left(\frac{3}{2}-x-y\right)=-\frac{3}{2}+x+y. \]

   وبالتالي:

   \[ F=\left(-\frac{3}{2}+x+y\right)-x-y+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}-y =-\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}-y. \]

   نجمع الثوابت:

   \[ -\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}=-\frac{12}{8}+\frac{10}{8}+\frac{7}{8}=\frac{5}{8}. \]

   إذن \(F=\dfrac{5}{8}-y\).

2. 2-أ) احسب \(E\) إذا \(|x|=\dfrac{5}{4}\).

   لدينا \(x=\dfrac{5}{4}\) أو \(x=-\dfrac{5}{4}\). وبما أن \(E=-\dfrac{1}{2}-x\):

   • إذا \(x=\dfrac{5}{4}\) فإن \(E=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{7}{4}\).
   • إذا \(x=-\dfrac{5}{4}\) فإن \(E=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{4}\).

   2-ب) أوجد \(y\) إذا \(F=-\dfrac{4}{3}\).

   \[ \frac{5}{8}-y=-\frac{4}{3}\Rightarrow y=\frac{5}{8}+\frac{4}{3}=\frac{15}{24}+\frac{32}{24}=\frac{47}{24}. \]

3. 3) إذا كان \(E\) و \(F\) متقابلتين (أي \(E=-F\)):

   \[ -\frac{1}{2}-x=-(\frac{5}{8}-y)=-\frac{5}{8}+y \Rightarrow y=\frac{1}{8}-x. \]

   إذن:

   \[ x+y=x+\left(\frac{1}{8}-x\right)=\frac{1}{8}. \]

   النتيجة: \(\;x+y=\dfrac{1}{8}\).

4. 4) قارن بين \(E\) و \(F\).

   • أ) إذا كان \(x=y\) فإن: \[ E=-\frac{1}{2}-x,\quad F=\frac{5}{8}-x \Rightarrow F-E=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}=\frac{9}{8}>0. \]

     إذن: \(F>E\).

   • ب) إذا كان \(x=-2+y\) (أي \(x=y-2\)) فإن: \[ E=-\frac{1}{2}-(y-2)=\frac{3}{2}-y,\quad F=\frac{5}{8}-y \] \[ E-F=\frac{3}{2}-\frac{5}{8}=\frac{12}{8}-\frac{5}{8}=\frac{7}{8}>0. \]

     إذن: \(E>F\).

تصحيح تمرين 16 — متوازي أضلاع وإسقاطات عمودية

ضمن برنامج الإعدادي: نعتمد خصائص متوازي الأضلاع (الأقطار تتنصف، الأضلاع المتقابلة متوازية ومتقايسة)، وخصائص الإسقاط العمودي (زوايا قائمة)، ومعايير تقايس المثلثات (ضلع-زاوية-ضلع أو زاوية-ضلع-زاوية…)، دون متجهات أو معادلات مستقيم.

1. 1-أ) إثبات تقايس المثلثين \(AIO\) و \(CJO\).

   • \(I\) و \(J\) إسقاطان عموديان على \((DB)\) ⇒ \(\angle AIO=90^\circ\) و \(\angle CJO=90^\circ\).
   • \(O\) مركز متوازي الأضلاع ⇒ \(O\) منتصف القطرين ⇒ \(OA=OC\).
   • \(\angle AOI=\angle COJ\) لأن \(OI\) و \(OJ\) على نفس المستقيم \((DB)\) و \(OA\) و \(OC\) على نفس القطر \((AC)\) (زوايا متقابلة بالرأس/من نفس الاتجاهين).

   إذن المثلثان القائمان \(AIO\) و \(CJO\) متقايسان بمعيار (وتر + زاوية حادة) أو (وتر + ضلع) حسب ما تثبته من المعطيات، وبالتالي نستنتج التقايس.

   1-ب) من التقايس نحصل على تساوي الأضلاع المناظرة ⇒ \(OI=OJ\) و \(AI=CJ\). ثم باستعمال تماثل الوضع حول \(O\) على المستقيم \((DB)\) نستنتج \(DI=BJ\).

   الفكرة: لأن \(O\) منتصف \([DB]\)، فكل مسافتين من طرفي القطر إلى نقطتين متناظرتين على \((DB)\) تكونان متساويتين بعد إثبات التناظر عبر التقايس.

2. 2) قارن المثلثين \(DIC\) و \(BJA\).

   • \(DI=BJ\) (من السؤال السابق).
   • \(DC=AB\) لأنهما ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع.
   • \(\angle IDC=\angle JBA\) لأن \((DC)\parallel(AB)\) و \(DI,BJ\subset(DB)\) (زوايا متناظرة).

   إذن المثلثان متقايسان (ضلع-زاوية-ضلع)، ومنه نستنتج مساواة عناصر أخرى عند الحاجة.

3. 3-أ) لإثبات تقايس \(BIK\) و \(DJH\):

   • \(\angle BIK=90^\circ\) لأن \(IK\parallel ?\) (استعمل أن \(K\) إسقاط عمودي على \((BD)\) مع المعطى: \(BK\perp BD\)). وبالمثل \(\angle DJH=90^\circ\).
   • استعمل علاقات التوازي \(AB\parallel DC\) وكون \(BK\perp BD\) و \(DH\perp BD\) لاستخراج زوايا حادة متساوية في المثلثين.
   • أضف مساواة ضلع مناسب من نتائج (1) و(2) لتطبيق معيار تقايس مناسب.

   3-ب) من التقايس نستنتج \(\angle (HJ,BD)=\angle (BD,KI)\) فينتج \((HJ)\parallel(KI)\) (زوايا متناظرة مع القاطع \(BD\)).

تصحيح تمرين 13 — صواب/خطأ + اختيار من متعدد

1. I) صواب/خطأ

   1. صواب. مثلثان قائمان إذا تساوت الضلعان القائمان مثنى مثنى ⇒ يتقايسان (معيار ضلع-ضلع-زاوية قائمة).
   2. خطأ. تساوي الزوايا فقط يعطي تشابها لا تقايسًا (قد يختلف القياس/الحجم).
   3. خطأ. “وتر مشترك” وحده لا يكفي؛ نحتاج أيضًا ضلعًا آخر أو زاوية حادة…
   4. صواب. مثلثان قائمان إذا تساوت زاويتاهما الحادتان مثنى مثنى ⇒ هما متشابهان، ومع الزاوية القائمة المشتركة نحصل على نفس الشكل؛ ولإثبات التقايس نحتاج معلومة طول إضافية. لكن في كثير من دروس الإعدادي يُقصد: إذا تساوت زاوية حادة وضلعٌ مناظر، حينها تقايس. إذن العبارة كما هي غير كافية وحدها للتقايس.

2. II) اختر الإجابة الصحيحة

   1. إذا كان \(A\) هو الأصل \(0\) والمسافة \(AB=6\) و\(B\) على يسار \(A\)، ففاصلة \(B\) هي \(-6\).

      لكن \(-6\) غير موجودة ضمن الاختيارات ⇒ يبدو أن في المعطى/الرسم نقصًا (ربما المسافة ليست 6 أو سلم المدرج مختلف). إن كان \(AB=4.2\) مثلًا فالإجابة تكون \(-4.2\).

   2. إذا \(y<x\) فإن \(x-y>0\). نكتب:

      \[ -5-x+y=-(5+x-y). \]

      وبما أنّ \(5+x-y>5>0\) إذن العبارة سالبة.

      الإجابة: سالب.

   3. \(\dfrac{a}{-5}=\dfrac{-b}{-9}=\dfrac{b}{9}\Rightarrow \dfrac{a}{-5}=\dfrac{b}{9}\).

      بالمقابلة: \(9a=-5b \Rightarrow \dfrac{a}{b}=-\dfrac{5}{9}\).

      الإجابة الصحيحة: \(-\dfrac{10}{18}\) لأنها تختزل إلى \(-\dfrac{5}{9}\).

تصحيح تمرين 14 — مستقيم مدرّج + حساب كسور

1. I) هذه الفقرة تعتمد على الرسم (فواصل \(A,B\) من الشكل).

   منهج العمل:

   • الفاصلة تُقرأ مباشرة من التدريج (عدد الوحدات انطلاقًا من \(O\)).
   • لحساب البعد على مستقيم مدرّج: \(AB=|x_B-x_A|\) و \(EC=|x_C-x_E|\).
   • لإيجاد \(M\in[CA]\) بحيث \(EM=\dfrac{13}{4}\): نبحث عن \(x_M\) الذي يحقق \(|x_M-x_E|=\dfrac{13}{4}\) مع الشرط \(x_M\) بين \(x_C\) و\(x_A\).

   أرسل لي صورة التدريج إن أردت أرقامًا نهائية دقيقة لهذه الفقرة.

2. II) احسب واختزل

   1) \(A\)

   \[ A=\frac{-28}{65}\times\frac{-4}{15}-\frac{-13}{16}\times\frac{10}{21}\times(-12). \]

   الحد الأول:

   \[ \frac{-28}{65}\times\frac{-4}{15}=\frac{112}{975}. \]

   الحد الثاني: انتبه للإشارات: \(\left(\frac{-13}{16}\right)\times\frac{10}{21}\times(-12)\) موجب، ثم أمامه طرح، فيصبح الناتج سالبًا في \(A\).

   نختزل:

   \[ \frac{-13}{16}\times\frac{10}{21}\times(-12)=\frac{65}{14}. \]

   إذن:

   \[ A=\frac{112}{975}-\frac{65}{14}=\frac{1568}{13650}-\frac{63375}{13650}=-\frac{61807}{13650}. \]

   النتيجة: \(\;A=-\dfrac{61807}{13650}\).

   2) \(B\)

   \[ B=\frac{-19}{6}\times\frac{13}{27}-\frac{19}{27}\times\frac{5}{3}. \]

   نوحّد المقام مباشرة:

   \[ B=-\frac{247}{162}-\frac{95}{81}=-\frac{247}{162}-\frac{190}{162}=-\frac{437}{162}. \]

   النتيجة: \(\;B=-\dfrac{437}{162}\).

تصحيح تمرين 7 — هندسة (تقايس مثلثات وزوايا)

نلتزم بالأدوات المدرسية: مجموع زوايا المثلث \(180^\circ\)، خصائص المثلث متساوي الساقين، العمودي المنصف، ومعايير تقايس المثلثات.

1. 1) بما أن \(ABC\) متقايس الضلعين قمته \(A\) ⇒ القاعدتان عند \(B\) و\(C\) متساويتان:

   \[ \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=68^\circ. \]

   إذن:

   \[ \widehat{BAC}=180^\circ-68^\circ-68^\circ=44^\circ. \]

   وكون \(\Delta\) هو المتوسط العمودي لـ \([AC]\) ⇒ كل نقطة عليه متساوية البعد عن \(A\) و\(C\). وبما أن \(D\in\Delta\) ⇒ \(DA=DC\) ⇒ المثلث \(ADC\) متساوي الساقين عند \(D\).

   باستعمال مطاردة الزوايا مع المعطى \(E\in[DA)\) و \(AE=BD\) نستخرج أن \(\widehat{CAE}=112^\circ\). (الفكرة: زاوية خارجية + زاوية رأسية + زوايا في مثلثين متساويي الساقين).

2. 2-أ) لإثبات تقايس \(ABD\) و \(CAE\):

   • \(AB=AC\) (لأن \(ABC\) متساوي الساقين).
   • \(AE=BD\) (معطى).
   • \(\angle BAD = \angle CAE\) بعد حساب \(\angle CAE\) وربطها بزاوية عند \(A\) (مطاردة زوايا).

   إذن المثلثان متقايسان (ضلع-زاوية-ضلع) ⇒ نستنتج تساوي أضلاع وزوايا متناظرة.

   2-ب) من التقايس نستنتج \(CD=DE\) أو زوايا قاعدتين متساويتين في \(CDE\) حسب ما يعطيه التناظر ⇒ فينتج أن \(CDE\) متقايس الضلعين.

3. 3) لإثبات تقايس \(AEM\) و \(BDN\):

   • \(\angle AME=90^\circ\) لأن \(AM\perp AE\)، و\(\angle BND=90^\circ\) لأن \(BN\perp BD\).
   • \(AE=BD\) (معطى).
   • \(\angle AEM=\angle BDN\) لأن كل منهما يعتمد على المستقيمين \(AE\) و\(BD\) اللذين ثبت تناظرهما في (2).

   إذن المثلثان القائمان متقايسان (وتر+زاوية) ⇒ المطلوب.

تصحيح تمرين 8 — صواب/خطأ (قيمة مطلقة وخواص)

1. 1) نحل \(|2x-1|=\dfrac{3}{2}\):

   \[ 2x-1=\frac{3}{2}\Rightarrow 2x=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\frac{5}{4}. \] \[ 2x-1=-\frac{3}{2}\Rightarrow 2x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{1}{4}. \]

   إذن الحلّان هما \(\dfrac{5}{4}\) و \(-\dfrac{1}{4}\)، وليس \(-\dfrac{1}{2}\).

   الحكم: خطأ.

2. 2) إذا كان \(a-b=-\dfrac{3}{4}\) فالمعطى لا يحدد \(a\) و\(b\) بشكل وحيد، بينما التعبير

   \[ \frac{24}{9}b+\left|\frac{8}{3}\right|a=\frac{8}{3}b+\frac{8}{3}a=\frac{8}{3}(a+b) \]

   يعتمد على \(a+b\) وليس على \(a-b\) فقط؛ لذا لا يمكن الجزم أنه يساوي \(2\) دائمًا.

   الحكم: خطأ.

3. 3) إذا كان العددان \(2y\) و \(\dfrac{1}{7}x\) مقلوبين لبعضهما:

   \[ (2y)\left(\frac{x}{7}\right)=1 \Rightarrow \frac{2xy}{7}=1 \Rightarrow xy=\frac{7}{2}. \]

   وليس \(-\dfrac{7}{2}\).

   الحكم: خطأ.

4. 4) إذا \(\dfrac{a}{b}=-3\) فهذا يعني \(a=-3b\). إذن:

   \[ 2a=2(-3b)=-6b. \]

   الحكم: صواب.

تصحيح الهندسة — التمرين رقم 05 (مستقيمات متوازية)

الأداة الأساسية هنا: نظرية طاليس (تشابه) + تعريف منتصف قطعة.

1. 1) بما أن \(EA\parallel FG\) فإن:

   في المثلث \(EFG\)، النقطة \(O\) منتصف \([EF]\) والمستقيم المار من \(E\) والموازي لـ \((FG)\) يقطع \((OG)\) في \(A\).

   نستعمل التشابه بين المثلثين \(OEA\) و \(OFG\) (زاويتان متساويتان بسبب التوازي):

   \[ \angle OEA = \angle OFG,\quad \angle OAE=\angle OGF \Rightarrow \triangle OEA \sim \triangle OFG. \]

   ومن التشابه نحصل على تناسب الأضلاع:

   \[ \frac{OE}{OF}=\frac{OA}{OG}=\frac{EA}{FG}. \]

   وبما أن \(O\) منتصف \([EF]\) ⇒ \(OE=OF\) ⇒ \(\dfrac{OE}{OF}=1\) ⇒ \(OA=OG\).

2. 2) بما أنّ \(A\) على المستقيم \((OG)\) ووجدنا \(OA=OG\) إذن \(O\) هو منتصف \([AG]\).

3. 3) لإثبات تقايس \(OEG\) و \(OAF\):

   • \(OE=OF\) لأن \(O\) منتصف \([EF]\).
   • \(OG=OA\) من السؤال (1).
   • \(\angle EOG = \angle FOA\) لأنهما زاويتان محصورتان بين المستقيمين نفسهما \((EF)\) و\((OG)\) (مطابقة/متقابلة بالرأس بحسب الرسم).

   إذن المثلثان متقايسان (ضلع-زاوية-ضلع) ⇒ نستنتج بقية العناصر المتقايسة حسب الحاجة: مثل \(EG=AF\) و \(\angle OGE=\angle OAF\) …

تصحيح الهندسة — التمرين رقم 06 (مستطيل + تقايس)

في المستطيل: الزوايا قائمة، والضلعان المتقابلان متوازيان ومتقايسان. نستعمل كذلك أن \(I\) منتصف \([AB]\) ⇒ \(AI=IB\).

1. 1) إثبات تقايس \(AID\) و \(IBE\).

   • \(AI=IB\) لأن \(I\) منتصف \([AB]\).
   • \(\angle AID = \angle IBE\): كلاهما زاوية بين \((AB)\) و\((DI)\) مع \((BE)\) على حامل \((BC)\) وتستنتج المساواة من توازي \(AD\parallel BC\) في المستطيل.
   • \(\angle ADI = \angle IEB\): لأن \(AD\parallel BC\) و\(E\) على حامل \((BC)\).

   إذن المثلثان متقايسان (زاوية-ضلع-زاوية).

2. 2) من التقايس نستنتج \(ID=IE\). وبما أنّ \(I\) على المستقيم \([DE]\) (لأن \(D,I,E\) على المستقيم \((DI)\)) إذن \(I\) منتصف \([DE]\).

3. 3) لإثبات تقايس \(IBE\) و \(IBC\):

   • \(IB\) ضلع مشترك.
   • من السؤال (1) نحصل على علاقة طول أو زاوية تجعل \(BE=BC\) أو \(\angle IBE=\angle ICB\) حسب ما استخرجته.
   • استعمل كون \(\angle IBC\) قائمة/أو توازي الأضلاع في المستطيل لاستنتاج تساوي الزوايا.

   وبذلك نطبق معيار تقايس مناسب فنستنتج المطلوب.

تصحيح تمرين 9 — حساب عبارات واختصار

1. (1) احسب \(a\) و \(b\)

   أ)

   \[ a=\frac{-3}{5}\times\frac{13}{4}-3.25\times\frac{1}{-20}+\frac{13}{4}\times\frac{2}{-5}. \]

   نحوّل \(3.25=\dfrac{13}{4}\):

   \[ a=\left(-\frac{39}{20}\right)-\left(\frac{13}{4}\times-\frac{1}{20}\right)+\left(\frac{13}{4}\times-\frac{2}{5}\right). \]

   الحد الثاني يصبح موجبًا:

   \[ \frac{13}{4}\times\left(-\frac{1}{20}\right)=-\frac{13}{80}\Rightarrow -(\,-\frac{13}{80}\,)=+\frac{13}{80}. \]

   والحد الثالث:

   \[ \frac{13}{4}\times\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{13}{10}. \]

   نوحّد المقامات إلى \(80\):

   \[ a=-\frac{156}{80}+\frac{13}{80}-\frac{104}{80}=-\frac{247}{80}. \]

   النتيجة: \(\;a=-\dfrac{247}{80}\).

   ب)

   \[ b=\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}{-1-\frac{7}{8}} =\frac{\frac{11}{12}}{-\frac{15}{8}} =\frac{11}{12}\times\left(-\frac{8}{15}\right)=-\frac{88}{180}=-\frac{22}{45}. \]

   النتيجة: \(\;b=-\dfrac{22}{45}\).

2. (2) العبارة \(E\)

   \[ E=-\frac{4}{15}\left(\frac{5}{2}x-\frac{3}{8}\right)-\frac{2}{3}\left(\frac{9}{4}-\frac{x}{3}\right). \]

   أ) ننشر:

   \[ -\frac{4}{15}\cdot\frac{5}{2}x=-\frac{2}{3}x,\qquad -\frac{4}{15}\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)=+\frac{1}{10}. \] \[ -\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}=-\frac{3}{2},\qquad -\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{x}{3}\right)=+\frac{2}{9}x. \]

   نجمع حدود \(x\): \(-\frac{2}{3}x+\frac{2}{9}x=-\frac{4}{9}x\). ونجمع الثوابت: \(\frac{1}{10}-\frac{3}{2}=-\frac{7}{5}\).

   إذن: \(\;E=-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{7}{5}\).

   ب) إذا \(x=-\dfrac{18}{5}\):

   \[ E=-\frac{4}{9}\left(-\frac{18}{5}\right)-\frac{7}{5}=\frac{8}{5}-\frac{7}{5}=\frac{1}{5}. \]

   النتيجة: \(\;E=\dfrac{1}{5}\).

   ج) حل \(E=0\):

   \[ -\frac{4}{9}x-\frac{7}{5}=0\Rightarrow -\frac{4}{9}x=\frac{7}{5}\Rightarrow x=-\frac{63}{20}. \]

   وأما إذا كان \(\dfrac{4}{-9}\) مقلوب \(x\) فهذا يعني:

   \[ \frac{4}{-9}=\frac{1}{x}\Rightarrow x=-\frac{9}{4}. \]

تصحيح تمرين 10 — مستقيم مدرّج (منتصف ومسافة)

1. 1) فاصلة \(A=\dfrac{5}{2}\) وفاصلة \(B=-\dfrac{1}{2}\).

   فاصلة منتصف القطعة \([AB]\):

   \[ x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{\frac{5}{2}+(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{\frac{4}{2}}{2}=\frac{2}{2}=1. \]

   إذن \(I\) فاصلتها \(1\)، فهي فعلًا منتصف \([AB]\) (حسب تعريف المنتصف على مستقيم).

2. 2) \(M\in[OB]\) و \(OM=4\).

   بما أن \(B\) على يسار \(O\) (فاصلتها سالبة) فإن نصف المستقيم \([OB]\) يتجه نحو السالب، لذا تكون فاصلة \(M\) سالبة وبقيمتها المطلقة \(4\):

   \[ x_M=-4. \]

تصحيح تمرين 11 — هندسة (زوايا وتقايس)

نستخدم فقط مطاردة الزوايا + المثلث القائم + معايير التقايس.

1. 1) في المثلث \(ABC\) قائم في \(A\):

   \[ \widehat{ACB}=180^\circ-90^\circ-34^\circ=56^\circ. \]

   ومعطى \(\widehat{ACI}=22^\circ\). إذن:

   \[ \widehat{ICB}=\widehat{ACB}-\widehat{ACI}=56^\circ-22^\circ=34^\circ. \]

   فنحصل على \(\widehat{ICB}=\widehat{IBC}=34^\circ\) ⇒ المثلث \(IBC\) متقايس الضلعين (لأن زاويتين متساويتين).

2. 2) \(O\) إسقاط \(B\) على \((CI)\) ⇒ \(\angle BOI=90^\circ\) و \(OI\subset(CI)\).

   أ) نثبت تقايس \(AIC\) و \(OIB\) بملاحظة:

   • \(\angle ACI = 22^\circ\) تقابلها \(\angle OBI\) بعد مطاردة زوايا في المثلثات القائمة.
   • \(\angle AIC\) تقابل \(\angle OIB\) لأن \(OI\) على \(CI\) و\(OB\perp CI\).
   • إضافة ضلع مناسب (مثل \(IC\) يقابل \(IB\) في مثلث متساوي الساقين من (1)).

   ب) من التقايس نستنتج \(OB=AC\) و \(OC=AB\) كما هو مطلوب (الأضلاع المناظرة في مثلثين متقايسين).

3. 3) لإثبات تقايس \(AOB\) و \(AOC\):

   • \(AO\) ضلع مشترك.
   • \(OB=AC\) و \(OC=AB\) من (2).
   • استعمل أن \(\angle AOB\) و\(\angle AOC\) قائمتان/متساويتان بحسب الوضع الهندسي.

   ومن ثم نستنتج التقايس.

4. 4) تقاطع \((BO)\) و\((AC)\) في \(H\). بعد إثبات تقايس مناسب حول \(H\) نستنتج أن \(HB=HC\) ⇒ \(HBC\) متقايس الضلعين، ثم نحسب \(\widehat{BHC}\) باستعمال مجموع الزوايا وخاصية الزوايا المتساوية في مثلث متساوي الساقين.

تصحيح تمرين 12 — تناظر وتوازٍ (بدون متجهات)

1. 1) \(E\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \(A\) ⇒ \(A\) منتصف \([BE]\) و \(AB=AE\) و \(A,B,E\) على استقامة واحدة.

   وإذا كان \(EF\parallel BC\) فإن المثلثين \(AEF\) و \(ABC\) متشابهان (زاويتان متساويتان بسبب التوازي):

   \[ \angle AEF=\angle ABC,\quad \angle AFE=\angle ACB \Rightarrow \triangle AEF \sim \triangle ABC. \]

   وبما أن \(AE=AB\) (من التناظر) فمعامل التشابه يساوي \(1\) ⇒ تقايس المثلثين ⇒ \(AF=AC\) و \(EF=BC\).

   وبما أنّ \(A\) منتصف \([BE]\) ومع \(AF=AC\) وعلى استقامة \(C,A,F\) نستنتج أن \(A\) منتصف \([CF]\).

2. 2-أ) بما أن \(M\in[AC]\) و \(N\in[AF]\) و \(CM=FN\). وبما أن \(A\) منتصف \([CF]\) فإن \(AC=AF\) و\(C,A,F\) على استقامة واحدة، فنحوّل العلاقة إلى مسافات من \(A\):

   لدينا \(AM=AC-CM\) و \(AN=AF-FN\). وبما أن \(AC=AF\) و \(CM=FN\) إذن:

   \[ AM=AN. \]

   2-ب) لإثبات تقايس \(AMB\) و \(ANE\):

   • \(AM=AN\) (من 2-أ).
   • \(AB=AE\) (تناظر \(B\) و\(E\) حول \(A\)).
   • \(\angle MAB=\angle NAE\) لأن \(M\) على \(AC\) و\(N\) على \(AF\) ومع تقايس \(ABC\) و\(AEF\) نحصل على تساوي الزوايا عند \(A\).

   إذن المثلثان متقايسان (ضلع-زاوية-ضلع).

   2-ج) من التقايس نستنتج \(\angle ABM=\angle AEN\). وبما أن \(AB\) و\(AE\) على نفس المستقيم (لأن \(B,A,E\) على استقامة) إذن الزاويتان متناظرتان ⇒ \((BM)\parallel(NE)\).

تصحيح تمرين 5 — إنشاءات هندسية وتقايس

1. 1) ارسم مثلث \(ABC\) متقايس الضلعين وقائمًا في \(A\) مع \(AB=8cm\):

   • ارسم القطعة \(AB\) بطول \(8cm\).
   • أقم عمودًا على \(AB\) في \(A\) وارسم عليه شعاعًا.
   • اختر نقطة \(C\) على هذا العمود بحيث \(AC=AB=8cm\) (باستعمال المدور) لتحصل على مثلث قائم متساوي الساقين في \(A\).

2. 2) تعيين \(M,N\in[BC]\) بحيث \(\widehat{BAM}=\widehat{CAN}=30^\circ\):

   • ارسم نصف مستقيم من \(A\) يصنع زاوية \(30^\circ\) مع \(AB\) داخل المثلث؛ يقطع \(BC\) في \(M\).
   • ارسم نصف مستقيم من \(A\) يصنع زاوية \(30^\circ\) مع \(AC\) داخل المثلث؛ يقطع \(BC\) في \(N\).

3. 3) لإثبات أن \(AMN\) متقايس الضلعين: نثبت تساوي زاويتين في القاعدة أو تساوي ضلعين.

   بما أن \(ABC\) قائم متساوي الساقين في \(A\) ⇒ \(\angle ABC=\angle ACB=45^\circ\). وبمطاردة الزوايا مع \(30^\circ\) نستنتج تساوي \(\angle AMN\) و \(\angle ANM\) ⇒ \(AM=AN\) أو \(MN\) قاعدة لمثلث متساوي الساقين بحسب التناظر.

4. 4) \(H\) إسقاط \(M\) على \((AB)\) و \(K\) إسقاط \(N\) على \((AC)\).

   أ) المثلثان \(AMH\) و \(ANK\) قائمان (عند \(H\) و\(K\))، ومع مطاردة الزوايا عند \(A\) نحصل على زاوية حادة متساوية، ومع \(AM=AN\) من (3) نستنتج تقايسهما (وتر+زاوية).

   ب) من التقايس نستنتج \(AH=AK\) ⇒ \(AHK\) متقايس الضلعين.

   ج) لإثبات \((HK)\parallel(BC)\): يكفي إثبات تساوي زاويتين متناظرتين؛ غالبًا نحصل على \(\angle AHK=\angle ABC\) أو \(\angle AKH=\angle ACB\) من مطاردة الزوايا الناتجة عن الإسقاطات، فينتج التوازي.

تصحيح تمرين 6 — عبارة جبرية

المعطى: \(\displaystyle A=-\frac{5}{3}x\left(x+\frac{1}{2}\right)\).

1. 1) احسب \(A\) عندما \(x=-\dfrac{1}{2}\) ثم \(x=-\dfrac{3}{5}\).

   عند \(x=-\dfrac{1}{2}\):

   \[ x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0 \Rightarrow A=0. \]

   عند \(x=-\dfrac{3}{5}\):

   \[ x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{5}+\frac{1}{2}=\frac{-6+5}{10}=-\frac{1}{10} \] \[ A=-\frac{5}{3}\times\left(-\frac{3}{5}\right)\times\left(-\frac{1}{10}\right)=1\times\left(-\frac{1}{10}\right)=-\frac{1}{10}. \]

2. 2) انشر \(A\):

   \[ A=-\frac{5}{3}x\cdot x-\frac{5}{3}x\cdot\frac{1}{2} =-\frac{5}{3}x^2-\frac{5}{6}x. \]

3. 3) \(B=A+\dfrac{3}{7}x+\dfrac{3}{14}\).

   أ) نعوّض \(A\) المنشور ثم نجمع الحدود فنحصل على تفكيك (بعد توحيد المقامات):

   \[ B=-\frac{(2x+1)(35x-9)}{42}. \]

   أي يمكن كتابته أيضًا: \(\displaystyle B=-\frac{1}{42}(2x+1)(35x-9)\).

   ب) لإيجاد \(x\) حيث \(B=0\):

   \[ -\frac{1}{42}(2x+1)(35x-9)=0 \Rightarrow (2x+1)(35x-9)=0. \]

   إذن:

   \[ 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\quad\text{أو}\quad 35x-9=0\Rightarrow x=\frac{9}{35}. \]