سلسلة تمارين: الضرب والقسمة في مجموعة الأعداد الكسرية

احسب ما يلي:

\(a=-\dfrac{3}{2}\times\left(-\dfrac{16}{21}\right)\)
\(b=\dfrac{3}{8}\times\left(2-\dfrac{2}{3}\right)\)
\(c=-\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{2}-\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{2}\)
\(d=\dfrac{24}{18}-\left(-\dfrac{5}{4}\right)\times\dfrac{4}{3}\)

الإصلاح:
\(a = \dfrac{3 \times 16}{2 \times 21} = \dfrac{3 \times 2 \times 8}{2 \times 3 \times 7} = \dfrac{8}{7}\)
\(b = \dfrac{3}{8} \times \left( \dfrac{6-2}{3} \right) = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\)
\(c = \dfrac{5}{2} \times \left( -\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} \right) = \dfrac{5}{2} \times \left( -\dfrac{6}{3} \right) = \dfrac{5}{2} \times (-2) = -5\)
\(d = \dfrac{4}{3} - \left( -\dfrac{5}{3} \right) = \dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{9}{3} = 3\)

(1) احسب الأعداد الكسرية التالية:

\(A=\left| -\dfrac{5}{2} \right|\times\left(-\dfrac{3}{4}\right)\)
\(B=\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{1}{5}-1\right)\)
\(C=-\dfrac{5}{4}+\left(-\dfrac{7}{5}\right)\times\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\)
\(D=15\times\left(-\dfrac{8}{5}\right)\times\dfrac{1}{3}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)

(2) استنتج أن \(A=\dfrac{1}{B}\) وأن \(C\) هو مقابل \(D\).

الإصلاح:
(1) حساب العبارات:
\(A = \dfrac{5}{2} \times \left( -\dfrac{3}{4} \right) = -\dfrac{15}{8}\)
\(B = \dfrac{2}{3} \times \left( -\dfrac{4}{5} \right) = -\dfrac{8}{15}\)
\(C = -\dfrac{5}{4} + \left( -\dfrac{7}{2} \right) + \dfrac{3}{4} = \left( -\dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{4} \right) - \dfrac{7}{2} = -\dfrac{2}{4} - \dfrac{7}{2} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{2} = -\dfrac{8}{2} = -4\)
\(D = 15 \times \dfrac{1}{3} \times \left( -\dfrac{8}{5} \right) \times \left( -\dfrac{1}{2} \right) = 5 \times \left( \dfrac{8}{10} \right) = 5 \times \dfrac{4}{5} = 4\)
(2) الاستنتاج:
بما أن \(A = -\dfrac{15}{8}\) و \(B = -\dfrac{8}{15}\)، فإن \(A \times B = 1\)، إذن \(A = \dfrac{1}{B}\).
بما أن \(C = -4\) و \(D = 4\)، فإن \(C + D = 0\)، إذن \(C\) هو مقابل \(D\).

(1) اختصر العبارتين \(A\) و \(B\) ثم احسب \(A-B\).
(2) إذا علمت أن \(A=B\) احسب \(A-B\) ثم استنتج \(x-y\).
(3) (أ) قارن بين \(x\) و \(y\). (ب) قارن بين \(x+3{,}2\) و \(y-\dfrac{7}{4}\).

ملاحظة: بما أن نص العبارات كان ناقصاً في الصورة الأصلية، نفترض الشكل العام للتمارين المشابهة للبرنامج التونسي:
إذا كان \(A-B = x-y + k\)، فإن تساوي \(A\) و \(B\) يعني \(x-y + k = 0\).
المقارنة تعتمد على إشارة الفرق \(x-y\).

ليكن \(x=-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{5}{6}\).
(2) بيّن أن \(x+y\) و \(z\) مقلوبان. (نفترض قيم \(y\) و \(z\) من سياق السلسلة)
(3) استنتج قيمة العبارة \(xz+yz-1\).

الإصلاح:
\(x = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}\).
(2) لكي يكون \(x+y\) و \(z\) مقلوبين، يجب أن يكون \((x+y) \times z = 1\).
(3) العبارة \(xz+yz-1 = z(x+y) - 1\).
بما أن \(z(x+y) = 1\)، فإن العبارة تساوي \(1 - 1 = 0\).

لتكن العبارتان: \[ A=\dfrac{5}{2}-\left(\dfrac{1}{2}-x\right)-\left[\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{1}{2}-y\right)\right] \qquad B=-\dfrac{1}{8}-z+x \] (1) (أ) بيّن أن \(A=\dfrac{7}{4}+x-y\).
(2) بيّن أن \(A-B=-y+z+\dfrac{15}{8}\).
(ب) إذا علمت أن \(y-x=\dfrac{4}{3}\) احسب \(A\).
(ج) استنتج أن \(A>B\) إذا علمت أن \(z>y\).

الإصلاح:
(1) \(A = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} + x - [\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} + y] = 2 + x - [\dfrac{1}{4} + y] = 2 - \dfrac{1}{4} + x - y = \dfrac{7}{4} + x - y\).
(2) \(A - B = (\dfrac{7}{4} + x - y) - (-\dfrac{1}{8} - z + x) = \dfrac{7}{4} + x - y + \dfrac{1}{8} + z - x = \dfrac{14}{8} + \dfrac{1}{8} - y + z = \dfrac{15}{8} - y + z\).
(ب) إذا كان \(y-x = \dfrac{4}{3}\)، فإن \(x-y = -\dfrac{4}{3}\).
\(A = \dfrac{7}{4} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{21 - 16}{12} = \dfrac{5}{12}\).
(ج) لدينا \(A-B = (z-y) + \dfrac{15}{8}\).
بما أن \(z > y\)، فإن \(z-y > 0\).
وبما أن \(\dfrac{15}{8} > 0\)، فإن مجموع عددين موجبين هو عدد موجب، إذن \(A-B > 0\) أي \(A > B\).

نعتبر العددين: \(x=-\dfrac{3}{2}+5\) و \(y=\dfrac{2}{7}\).
(1) احسب \(xy\). (2) استنتج أن \(x\) هو مقلوب \(y\). (3) احسب \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\).

الإصلاح:
(1) حساب \(x\): \(x = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{10}{2} = \dfrac{7}{2}\).
حساب \(xy\): \(xy = \dfrac{7}{2} \times \dfrac{2}{7} = 1\).
(2) بما أن جذاؤهما يساوي 1، فإن \(x\) هو مقلوب \(y\).
(3) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = y + x\) (لأن مقلوب \(x\) هو \(y\) والعكس صحيح).
إذن: \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{7}{2} = \dfrac{4 + 49}{14} = \dfrac{53}{14}\).