التمرين رقم 1
أحسب :
💡 قاعدة أساسية - قسمة الكسور:
- قسمة كسر على كسر = ضرب في المقلوب
- \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \)
- حوّل الأعداد العشرية إلى كسور أولاً
- اختزل دائماً قبل الضرب لتسهيل الحساب
\( \frac{7}{5} \div \frac{1}{3} = \)
التصحيح التفصيلي
القاعدة: قسمة كسر على كسر = الضرب في المقلوب
الخطوة 1 - تطبيق القاعدة:
\( \frac{7}{5} \div \frac{1}{3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{1} = \frac{7}{5} \times 3 \)
\( \frac{7}{5} \div \frac{1}{3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{1} = \frac{7}{5} \times 3 \)
الخطوة 2 - الحساب:
\( \frac{7}{5} \times 3 = \frac{7 \times 3}{5} = \frac{21}{5} \)
\( \frac{7}{5} \times 3 = \frac{7 \times 3}{5} = \frac{21}{5} \)
الجواب النهائي: \( \frac{21}{5} \) أو \( 4\frac{1}{5} \) أو \( 4,2 \)
\( \frac{2}{\frac{11}{3}} = \)
التصحيح التفصيلي
كسر مركب: \( \frac{a}{\frac{b}{c}} = a \div \frac{b}{c} = a \times \frac{c}{b} \)
الخطوة 1 - إعادة الكتابة:
\( \frac{2}{\frac{11}{3}} = 2 \div \frac{11}{3} \)
\( \frac{2}{\frac{11}{3}} = 2 \div \frac{11}{3} \)
الخطوة 2 - تطبيق القاعدة:
\( 2 \div \frac{11}{3} = 2 \times \frac{3}{11} = \frac{2 \times 3}{11} = \frac{6}{11} \)
\( 2 \div \frac{11}{3} = 2 \times \frac{3}{11} = \frac{2 \times 3}{11} = \frac{6}{11} \)
الجواب النهائي: \( \frac{6}{11} \)
\( \frac{7}{5} \div 0,2 = \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - تحويل العدد العشري إلى كسر:
\( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
\( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
الخطوة 2 - تطبيق القاعدة:
\( \frac{7}{5} \div \frac{1}{5} = \frac{7}{5} \times \frac{5}{1} = \frac{7}{5} \times 5 \)
\( \frac{7}{5} \div \frac{1}{5} = \frac{7}{5} \times \frac{5}{1} = \frac{7}{5} \times 5 \)
الخطوة 3 - التبسيط:
\( \frac{7 \times 5}{5} = \frac{7 \times \cancel{5}}{\cancel{5}} = 7 \)
\( \frac{7 \times 5}{5} = \frac{7 \times \cancel{5}}{\cancel{5}} = 7 \)
الجواب النهائي: \( 7 \)
\( \frac{3}{4} \div 2 = \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - كتابة 2 ككسر:
\( 2 = \frac{2}{1} \)
\( 2 = \frac{2}{1} \)
الخطوة 2 - تطبيق القاعدة:
\( \frac{3}{4} \div \frac{2}{1} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{4 \times 2} = \frac{3}{8} \)
\( \frac{3}{4} \div \frac{2}{1} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{4 \times 2} = \frac{3}{8} \)
الجواب النهائي: \( \frac{3}{8} \)
\( \frac{1}{\frac{7}{3}} = \)
التصحيح التفصيلي
\( \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} \) (المقلوب)
التطبيق المباشر:
\( \frac{1}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7} \)
\( \frac{1}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7} \)
الجواب النهائي: \( \frac{3}{7} \)
\( 1 + \frac{1}{4} \div \frac{7}{3} = \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - أولوية العمليات (القسمة قبل الجمع):
نحسب \( \frac{1}{4} \div \frac{7}{3} \) أولاً
نحسب \( \frac{1}{4} \div \frac{7}{3} \) أولاً
الخطوة 2 - حساب القسمة:
\( \frac{1}{4} \div \frac{7}{3} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{7} = \frac{3}{28} \)
\( \frac{1}{4} \div \frac{7}{3} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{7} = \frac{3}{28} \)
الخطوة 3 - الجمع:
\( 1 + \frac{3}{28} = \frac{28}{28} + \frac{3}{28} = \frac{31}{28} \)
\( 1 + \frac{3}{28} = \frac{28}{28} + \frac{3}{28} = \frac{31}{28} \)
الجواب النهائي: \( \frac{31}{28} \) أو \( 1\frac{3}{28} \)
\( \frac{2 + \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{2}} = \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - حساب البسط:
\( 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \)
\( 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \)
الخطوة 2 - حساب المقام:
\( 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
\( 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
الخطوة 3 - القسمة:
\( \frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2} \div \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{5 \times \cancel{2}}{\cancel{2} \times 3} = \frac{5}{3} \)
\( \frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2} \div \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{5 \times \cancel{2}}{\cancel{2} \times 3} = \frac{5}{3} \)
الجواب النهائي: \( \frac{5}{3} \) أو \( 1\frac{2}{3} \)
\( \frac{4 \times \frac{7}{16}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}} = \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - حساب البسط:
\( 4 \times \frac{7}{16} = \frac{4 \times 7}{16} = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} \)
\( 4 \times \frac{7}{16} = \frac{4 \times 7}{16} = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} \)
الخطوة 2 - حساب المقام:
\( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \)
الخطوة 3 - القسمة:
\( \frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{7}{4} \div \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \times \frac{4}{1} = \frac{7 \times \cancel{4}}{\cancel{4}} = 7 \)
\( \frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{7}{4} \div \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \times \frac{4}{1} = \frac{7 \times \cancel{4}}{\cancel{4}} = 7 \)
الجواب النهائي: \( 7 \)
التمرين رقم 2
أحسب :
💡 استراتيجية الحل:
- احسب ما بين الأقواس أولاً
- طبّق أولويات العمليات: الأقواس → الضرب والقسمة → الجمع والطرح
- حوّل الأعداد العشرية إلى كسور
- ابحث عن الحدود التي يمكن شطبها
\( A = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \div \frac{1}{6} \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - أولوية العمليات (القسمة أولاً):
\( \frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \times 6 = \frac{6}{2} = 3 \)
\( \frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \times 6 = \frac{6}{2} = 3 \)
الخطوة 2 - الجمع:
\( A = \frac{1}{5} + 3 = \frac{1}{5} + \frac{15}{5} = \frac{16}{5} \)
\( A = \frac{1}{5} + 3 = \frac{1}{5} + \frac{15}{5} = \frac{16}{5} \)
الجواب النهائي: \( A = \frac{16}{5} \) أو \( A = 3\frac{1}{5} \)
\( B = \frac{\frac{4}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{9} + 1} \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - حساب البسط (الضرب أولاً):
\( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \)
\( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \)
الخطوة 2 - حساب المقام:
\( \frac{1}{9} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{10}{9} \)
\( \frac{1}{9} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{10}{9} \)
الخطوة 3 - القسمة:
\( B = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{5}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{5 \times 9}{3 \times 10} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2} \)
\( B = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{10}{9}} = \frac{5}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{5 \times 9}{3 \times 10} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2} \)
الجواب النهائي: \( B = \frac{3}{2} \) أو \( B = 1\frac{1}{2} \)
\( C = 1 + \frac{0,2 - \frac{1}{5} \div 3}{2} \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - تحويل 0,2:
\( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
\( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
الخطوة 2 - حساب القسمة:
\( \frac{1}{5} \div 3 = \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15} \)
\( \frac{1}{5} \div 3 = \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15} \)
الخطوة 3 - حساب الطرح:
\( \frac{1}{5} - \frac{1}{15} = \frac{3}{15} - \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \)
\( \frac{1}{5} - \frac{1}{15} = \frac{3}{15} - \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \)
الخطوة 4 - القسمة على 2:
\( \frac{\frac{2}{15}}{2} = \frac{2}{15} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \)
\( \frac{\frac{2}{15}}{2} = \frac{2}{15} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \)
الخطوة 5 - الجمع:
\( C = 1 + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} + \frac{1}{15} = \frac{16}{15} \)
\( C = 1 + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} + \frac{1}{15} = \frac{16}{15} \)
الجواب النهائي: \( C = \frac{16}{15} \) أو \( C = 1\frac{1}{15} \)
\( D = 3 - \frac{2 - \frac{1}{2} \div 3}{\frac{5}{6}} \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - حساب القسمة في البسط:
\( \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)
\( \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)
الخطوة 2 - حساب البسط:
\( 2 - \frac{1}{6} = \frac{12}{6} - \frac{1}{6} = \frac{11}{6} \)
\( 2 - \frac{1}{6} = \frac{12}{6} - \frac{1}{6} = \frac{11}{6} \)
الخطوة 3 - القسمة:
\( \frac{\frac{11}{6}}{\frac{5}{6}} = \frac{11}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{11 \times \cancel{6}}{\cancel{6} \times 5} = \frac{11}{5} \)
\( \frac{\frac{11}{6}}{\frac{5}{6}} = \frac{11}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{11 \times \cancel{6}}{\cancel{6} \times 5} = \frac{11}{5} \)
الخطوة 4 - الطرح:
\( D = 3 - \frac{11}{5} = \frac{15}{5} - \frac{11}{5} = \frac{4}{5} \)
\( D = 3 - \frac{11}{5} = \frac{15}{5} - \frac{11}{5} = \frac{4}{5} \)
الجواب النهائي: \( D = \frac{4}{5} \)
\( E = \frac{\left(\frac{7}{5} - \frac{1}{128}\right) + \left(\frac{1}{128} + \frac{23}{5}\right)}{\frac{1}{6}} \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - الملاحظة المهمة:
الحد \( \frac{1}{128} \) موجود مرتين: \( -\frac{1}{128} \) و \( +\frac{1}{128} \)
إذن يمكن شطبهما!
الحد \( \frac{1}{128} \) موجود مرتين: \( -\frac{1}{128} \) و \( +\frac{1}{128} \)
إذن يمكن شطبهما!
الخطوة 2 - التبسيط:
\( E = \frac{\frac{7}{5} - \cancel{\frac{1}{128}} + \cancel{\frac{1}{128}} + \frac{23}{5}}{\frac{1}{6}} \)
\( E = \frac{\frac{7}{5} + \frac{23}{5}}{\frac{1}{6}} \)
\( E = \frac{\frac{7}{5} - \cancel{\frac{1}{128}} + \cancel{\frac{1}{128}} + \frac{23}{5}}{\frac{1}{6}} \)
\( E = \frac{\frac{7}{5} + \frac{23}{5}}{\frac{1}{6}} \)
الخطوة 3 - حساب البسط:
\( \frac{7}{5} + \frac{23}{5} = \frac{30}{5} = 6 \)
\( \frac{7}{5} + \frac{23}{5} = \frac{30}{5} = 6 \)
الخطوة 4 - القسمة:
\( E = \frac{6}{\frac{1}{6}} = 6 \times 6 = 36 \)
\( E = \frac{6}{\frac{1}{6}} = 6 \times 6 = 36 \)
الجواب النهائي: \( E = 36 \)
\( F = \frac{\frac{7}{5} \times \frac{15}{14} + \frac{11}{2}}{\frac{11}{6}} \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - حساب الضرب في البسط:
\( \frac{7}{5} \times \frac{15}{14} = \frac{7 \times 15}{5 \times 14} \)
\( \frac{7}{5} \times \frac{15}{14} = \frac{7 \times 15}{5 \times 14} \)
الخطوة 2 - الاختزال قبل الضرب:
\( \frac{7 \times 15}{5 \times 14} = \frac{\cancel{7} \times \cancelto{3}{15}}{\cancel{5} \times \cancelto{2}{14}} = \frac{3}{2} \)
\( \frac{7 \times 15}{5 \times 14} = \frac{\cancel{7} \times \cancelto{3}{15}}{\cancel{5} \times \cancelto{2}{14}} = \frac{3}{2} \)
الخطوة 3 - حساب البسط:
\( \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = \frac{3+11}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
\( \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = \frac{3+11}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
الخطوة 4 - القسمة:
\( F = \frac{7}{\frac{11}{6}} = 7 \times \frac{6}{11} = \frac{42}{11} \)
\( F = \frac{7}{\frac{11}{6}} = 7 \times \frac{6}{11} = \frac{42}{11} \)
الجواب النهائي: \( F = \frac{42}{11} \) أو \( F = 3\frac{9}{11} \)
\( G = \frac{\frac{7}{5} \times \frac{1}{14} + \frac{7}{5} \times \frac{9}{14}}{\frac{3}{2} + 1} \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - التحليل بالعامل المشترك في البسط:
\( \frac{7}{5} \times \frac{1}{14} + \frac{7}{5} \times \frac{9}{14} = \frac{7}{5} \times \left(\frac{1}{14} + \frac{9}{14}\right) \)
\( \frac{7}{5} \times \frac{1}{14} + \frac{7}{5} \times \frac{9}{14} = \frac{7}{5} \times \left(\frac{1}{14} + \frac{9}{14}\right) \)
الخطوة 2 - حساب القوسين:
\( \frac{1}{14} + \frac{9}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \)
\( \frac{1}{14} + \frac{9}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \)
الخطوة 3 - حساب البسط:
\( \frac{7}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{\cancel{7} \times \cancel{5}}{\cancel{5} \times \cancel{7}} = 1 \)
\( \frac{7}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{\cancel{7} \times \cancel{5}}{\cancel{5} \times \cancel{7}} = 1 \)
الخطوة 4 - حساب المقام:
\( \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2} \)
\( \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2} \)
الخطوة 5 - القسمة:
\( G = \frac{1}{\frac{5}{2}} = 1 \times \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \)
\( G = \frac{1}{\frac{5}{2}} = 1 \times \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \)
الجواب النهائي: \( G = \frac{2}{5} \)
\( H = 1 + \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{1}{\frac{1}{5}}} \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - حساب الكسر المركب الداخلي:
\( \frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \times 5 = 5 \)
\( \frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \times 5 = 5 \)
الخطوة 2 - حساب المقام:
\( \frac{3}{2} + 5 = \frac{3}{2} + \frac{10}{2} = \frac{13}{2} \)
\( \frac{3}{2} + 5 = \frac{3}{2} + \frac{10}{2} = \frac{13}{2} \)
الخطوة 3 - حساب الكسر الرئيسي:
\( \frac{1}{\frac{13}{2}} = 1 \times \frac{2}{13} = \frac{2}{13} \)
\( \frac{1}{\frac{13}{2}} = 1 \times \frac{2}{13} = \frac{2}{13} \)
الخطوة 4 - الجمع:
\( H = 1 + \frac{2}{13} = \frac{13}{13} + \frac{2}{13} = \frac{15}{13} \)
\( H = 1 + \frac{2}{13} = \frac{13}{13} + \frac{2}{13} = \frac{15}{13} \)
الجواب النهائي: \( H = \frac{15}{13} \) أو \( H = 1\frac{2}{13} \)
\( I = 5 + 2 - \frac{3 - \frac{3}{2}}{\frac{5}{2} \times 3} \)
التصحيح التفصيلي
الخطوة 1 - حساب البسط:
\( 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \)
\( 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \)
الخطوة 2 - حساب المقام:
\( \frac{5}{2} \times 3 = \frac{5 \times 3}{2} = \frac{15}{2} \)
\( \frac{5}{2} \times 3 = \frac{5 \times 3}{2} = \frac{15}{2} \)
الخطوة 3 - القسمة:
\( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{15}{2}} = \frac{3}{2} \times \frac{2}{15} = \frac{3 \times \cancel{2}}{\cancel{2} \times 15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \)
\( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{15}{2}} = \frac{3}{2} \times \frac{2}{15} = \frac{3 \times \cancel{2}}{\cancel{2} \times 15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \)
الخطوة 4 - الحساب النهائي:
\( I = 5 + 2 - \frac{1}{5} = 7 - \frac{1}{5} = \frac{35}{5} - \frac{1}{5} = \frac{34}{5} \)
\( I = 5 + 2 - \frac{1}{5} = 7 - \frac{1}{5} = \frac{35}{5} - \frac{1}{5} = \frac{34}{5} \)
الجواب النهائي: \( I = \frac{34}{5} \) أو \( I = 6\frac{4}{5} \)