الرياضيات: العمليات المتقدمة في $\mathbb{Q}$

السنة الثامنة أساسي - مهارات الاختزال القصوى

التمـرين 07:
نعتبر العبارات التالية، أحسب ثم اختزل:

$L = \frac{-21}{25} \times \frac{-10}{14} \times \left( -\frac{5}{3} \right)$

$M = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} \times \frac{5}{3}$

$N = \frac{\frac{2}{3} \times \frac{-9}{4}}{\frac{3}{5}}$
الإنجاز:
💡 مؤشر التفكير:
  • في $L$: عدّ الإشارات السالبة أولاً لتحديد علامة النتيجة. (3 إشارات سالبة = نتيجة سالبة).
  • في $M$: احسب البسط والمقام في الكسر الكبير بشكل مستقل قبل إجراء القسمة.
  • في $N$: تذكر أن "قسمة عدد على كسر" هي ضربه في مقلوبه.
📝 المنهجية:
  1. تحديد العلامة النهائية (قاعدة الإشارات).
  2. كتابة العبارة في شكل كسر واحد يضم جميع البسوط وجميع المقامات.
  3. تفكيك الأعداد (مثل $21 = 7 \times 3$) لحذف العوامل المشتركة.
  4. عند وجود كسور فوق بعضها، نبسط "الكسر الأم" قبل الضرب في الأعداد الخارجية.
✅ الحل التفصيلي:

العبارة L:
بما أن عدد العوامل السالبة فردي (3)، النتيجة سالبة.
$L = -\frac{21 \times 10 \times 5}{25 \times 14 \times 3} = -\frac{(7 \times 3) \times (2 \times 5) \times 5}{(5 \times 5) \times (7 \times 2) \times 3}$
نختزل بـ $(7 \times 3 \times 2 \times 5 \times 5)$ من البسط والمقام:
$L = -1$

العبارة M:
البسط: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ | المقام: $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$
$M = \frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$

العبارة N:
نحسب البسط أولاً: $\frac{2}{3} \times \frac{-9}{4} = -\frac{2 \times 3 \times 3}{3 \times 2 \times 2} = -\frac{3}{2}$
نقسم على المقام: $N = -\frac{3}{2} \div \frac{3}{5} = -\frac{3}{2} \times \frac{5}{3}$
نختزل بـ 3: $N = -\frac{5}{2}$

⚠️ خطأ شائع: في العبارة M، يقوم البعض باختصار الـ $\frac{1}{4}$ مباشرة من البسط والمقام، وهذا خطأ فادح لأن العملية هي "جمع وطرح" وليست "ضرب".