تصحيح تمرين 1 — انشر واختصر

ملاحظة منهجية: نعتمد على خاصية التوزيع: \(\;k(u+v)=ku+kv\;\) و \(\;k(u-v)=ku-kv\;\)، ثم نجمع الحدود المتشابهة (حدود \(x\)، حدود \(y\)، والثوابت).

1) تبسيط \(B\)

لدينا: \[ B=\frac{2}{3}(-6x-6+y)+\frac{1}{3}(-1+3x+y) \]

نوزّع \(\frac{2}{3}\) على القوس الأول:

\[ \frac{2}{3}(-6x)= -4x,\quad \frac{2}{3}(-6)= -4,\quad \frac{2}{3}(y)=\frac{2}{3}y \]

إذن: \[ \frac{2}{3}(-6x-6+y)= -4x-4+\frac{2}{3}y \]

ونوزّع \(\frac{1}{3}\) على القوس الثاني:

\[ \frac{1}{3}(-1)= -\frac{1}{3},\quad \frac{1}{3}(3x)= x,\quad \frac{1}{3}(y)=\frac{1}{3}y \]

إذن: \[ \frac{1}{3}(-1+3x+y)= -\frac{1}{3}+x+\frac{1}{3}y \]

نجمع الآن:

\[ B=\Big(-4x-4+\frac{2}{3}y\Big)+\Big(-\frac{1}{3}+x+\frac{1}{3}y\Big) \]

نجمع الحدود المتشابهة:

\[ (-4x+x)=-3x,\qquad \Big(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}y\Big)=y,\qquad \Big(-4-\frac{1}{3}\Big)=-\frac{13}{3} \]

النتيجة: \[ \boxed{\,B=-3x+y-\frac{13}{3}\,} \]

2) تبسيط \(A\)

\[ A=\frac{2}{3}(-x-1)+\frac{1}{3}(1-x) \]

توزيع \(\frac{2}{3}\): \(\frac{2}{3}(-x)=-\frac{2}{3}x\) و \(\frac{2}{3}(-1)=-\frac{2}{3}\).

توزيع \(\frac{1}{3}\): \(\frac{1}{3}(1)=\frac{1}{3}\) و \(\frac{1}{3}(-x)=-\frac{1}{3}x\).

إذن: \[ A=\Big(-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\Big)+\Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}x\Big) =-\Big(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\Big)x+\Big(-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\Big) \]

النتيجة: \[ \boxed{\,A=-x-\frac{1}{3}\,} \]

3) تبسيط \(D\)

\[ D=-\frac{2}{5}y(x-1)-\left(\frac{1}{5}y+1\right)(1-x) \]

نستعمل العلاقة \(1-x=-(x-1)\)، فنحصل على:

\[ -\left(\frac{1}{5}y+1\right)(1-x) =-\left(\frac{1}{5}y+1\right)\big(-(x-1)\big) =\left(\frac{1}{5}y+1\right)(x-1) \]

إذن: \[ D=(x-1)\left(-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}y+1\right) =(x-1)\left(1-\frac{1}{5}y\right) \]

النتيجة: \[ \boxed{\,D=(x-1)\left(1-\frac{y}{5}\right)\,} \]

4) تبسيط \(C\)

\[ C=\left(-2x-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}-3y\right)-6x\left(y-\frac{1}{6}\right) \]

نوسّع الجداء الأول:

\[ \left(-2x-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}-3y\right) =(-2x)\cdot\frac{1}{2}+(-2x)\cdot(-3y)-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot(-3y) \]

\[ =-x+6xy-\frac{1}{6}+y \]

ونوسّع الحد الثاني:

\[ -6x\left(y-\frac{1}{6}\right)=-6xy+x \]

نجمع:

\[ C=\big(-x+6xy-\frac{1}{6}+y\big)+\big(-6xy+x\big) \]

نلاحظ الإلغاء:

\[ (-x+x)=0,\qquad (6xy-6xy)=0 \]

النتيجة: \[ \boxed{\,C=y-\frac{1}{6}\,} \]

5) تبسيط \(E\)

\[ E=\frac{2}{3}(x+1)(1-y)+2x(1+y)-\left(x-\frac{1}{3}\right)\times5 \]

أولاً: \((x+1)(1-y)=(x+1)-y(x+1)=x+1-xy-y\).

إذن: \[ \frac{2}{3}(x+1)(1-y)=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}xy-\frac{2}{3}y \]

ثانياً: \[ 2x(1+y)=2x+2xy \]

ثالثاً: \[ -5\left(x-\frac{1}{3}\right)=-5x+\frac{5}{3} \]

نجمع الحدود (نفس المتغيرات معاً):

\[ E=\Big(\frac{2}{3}x+2x-5x\Big) +\Big(-\frac{2}{3}xy+2xy\Big) -\frac{2}{3}y +\Big(\frac{2}{3}+\frac{5}{3}\Big) \]

الحساب:

\[ \frac{2}{3}+2-5=\frac{2}{3}+\frac{6}{3}-\frac{15}{3}=-\frac{7}{3} \]

\[ -\frac{2}{3}+2=-\frac{2}{3}+\frac{6}{3}=\frac{4}{3} \]

النتيجة: \[ \boxed{\,E=\frac{4}{3}xy-\frac{2}{3}y-\frac{7}{3}x+\frac{7}{3} =\frac{1}{3}\big(4xy-2y-7x+7\big)\,} \]

فحص سريع: بعد التبسيط يجب أن تختفي الأقواس تماماً، ونحصل على مجموع حدود فقط.

تصحيح تمرين 2 — فكّك إلى جداء عوامل

منهجية: نبحث عن عامل مشترك (عددي أو حرفي)، أو نستعمل الاستخراج بالعامل المشترك والتجميع والمتطابقات.

1) \(D\)

\[ D=2\left(x+\frac{1}{3}\right)-\left(y+\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right) \]

نلاحظ العامل المشترك \(\left(x+\frac{1}{3}\right)\):

\[ D=\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(2-\left(y+\frac{1}{3}\right)\right) =\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{3}-y\right) \]

2) \(C\)

\[ C=\frac{21}{5}x+\frac{28}{15}y =\frac{63}{15}x+\frac{28}{15}y \]

العامل المشترك \(\frac{7}{15}\):

\[ C=\frac{7}{15}(9x+4y) \]

3) \(B\)

\[ B=\frac{27}{20}xy-\frac{18}{25}x \]

نستخرج \(x\):

\[ B=x\left(\frac{27}{20}y-\frac{18}{25}\right) \]

نوحّد المقامات (المضاعف المشترك \(100\)):

\[ \frac{27}{20}y-\frac{18}{25}=\frac{135}{100}y-\frac{72}{100}=\frac{135y-72}{100} =\frac{9(15y-8)}{100} \]

إذن: \[ B=\frac{9x}{100}(15y-8) \]

4) \(A\)

\[ A=\frac{2}{3}x-\frac{4}{9} =\frac{6}{9}x-\frac{4}{9} =\frac{2}{9}(3x-2) \]

5) \(G\)

\[ G=-\frac{15}{4}x-\frac{5}{8}xy-\left(3-\frac{1}{2}x\right)\left(3+\frac{1}{2}y\right) \]

نوسّع الجداء داخل القوس:

\[ \left(3-\frac{x}{2}\right)\left(3+\frac{y}{2}\right) =9+\frac{3}{2}y-\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}xy \]

وبالتالي:

\[ G=-\frac{15}{4}x-\frac{5}{8}xy-\left(9+\frac{3}{2}y-\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}xy\right) \]

نزيل القوس بتغيير الإشارات:

\[ G=-\frac{15}{4}x-\frac{5}{8}xy-9-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}xy \]

نجمع الحدود المتشابهة:

\[ x:\;-\frac{15}{4}+\frac{3}{2}=-\frac{15}{4}+\frac{6}{4}=-\frac{9}{4} \]

\[ xy:\;-\frac{5}{8}+\frac{1}{4}=-\frac{5}{8}+\frac{2}{8}=-\frac{3}{8} \]

إذن: \[ G=-\frac{9}{4}x-\frac{3}{8}xy-\frac{3}{2}y-9 \]

نستخرج \(-\frac{3}{8}\):

\[ G=-\frac{3}{8}\big(xy+6x+4y+24\big) \]

والعبارة داخل القوس تُفكّك بالتجميع:

\[ xy+6x+4y+24=x(y+6)+4(y+6)=(x+4)(y+6) \]

النتيجة: \[ \boxed{\,G=-\frac{3}{8}(x+4)(y+6)\,} \]

6) \(F\)

\[ F=(x+y)\left(x-\frac{5}{2}y\right)-\left(x-\frac{5}{2}y\right)(3+y) \]

نستخرج العامل المشترك \(\left(x-\frac{5}{2}y\right)\):

\[ F=\left(x-\frac{5}{2}y\right)\big((x+y)-(3+y)\big) =\left(x-\frac{5}{2}y\right)(x-3) \]

7) \(E\)

\[ E=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y(1-x) \]

نستخرج \(\frac{2}{3}\):

\[ E=\frac{2}{3}\big(1-x+y(1-x)\big) =\frac{2}{3}(1-x)(1+y) \]

فحص سريع: بعد التفكيك، إذا أعَدْنا النشر يجب أن نرجع إلى العبارة الأصلية.

تصحيح تمرين 3

المطلوب: تبسيط \(A\) و\(B\)، ثم حساب \(B-A\)، ثم مقارنة \(x\) و\(y\) في حالة خاصة، ثم دراسة عبارة \(C\).

1) تبسيط \(B\)

\[ B=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}-y\right)-6\times\left(-\frac{1}{15}\right) \]

نوزّع \(-\frac{1}{2}\) على \(\left(\frac{4}{5}-y\right)\):

\[ -\frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}-y\right) =-\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}+\frac{1}{2}y =-\frac{2}{5}+\frac{1}{2}y \]

ونحسب: \[ -6\times\left(-\frac{1}{15}\right)=+\frac{6}{15}=\frac{2}{5} \]

إذن:

\[ B=\frac{1}{2}+\left(-\frac{2}{5}+\frac{1}{2}y\right)+\frac{2}{5} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}y \]

النتيجة: \[ \boxed{\,B=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\,} \]

تبسيط \(A\)

\[ A=-\frac{3}{2}(x-1)-x(y-1)-(3-xy) \]

نوسّع كل حد على حدة:

\[ -\frac{3}{2}(x-1)=-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} \]

\[ -x(y-1)=-xy+x \]

\[ -(3-xy)=-3+xy \]

نجمع:

\[ A=\left(-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\right)+(-xy+x)+(-3+xy) \]

نلاحظ الإلغاء \( -xy+xy=0\)، ويبقى:

\[ A=\left(-\frac{3}{2}x+x\right)+\left(\frac{3}{2}-3\right) =-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \]

النتيجة: \[ \boxed{\,A=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\,} \]

2) حساب \(B-A\) إذا كان \(x+y=-\frac{6}{5}\)

\[ B-A=\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right) =\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \]

\[ B-A=\frac{1}{2}(x+y)+2 =\frac{x+y+4}{2} \]

نعوّض \(x+y=-\frac{6}{5}\):

\[ B-A=\frac{-\frac{6}{5}+4}{2} =\frac{\frac{14}{5}}{2} =\frac{7}{5} \]

النتيجة: \(\boxed{\,B-A=\frac{7}{5}\,}\).

3) قارن \(x\) و\(y\) إذا كان \(A\) و\(B\) متقابلين

كون \(A\) و\(B\) متقابلين يعني: \[ A=-B \]

نعوّض الصيغ المبسطة:

\[ -\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}= -\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right) =-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} \]

نضرب في \(2\):

\[ -x-3=-y-1 \quad\Rightarrow\quad y-x=2 \quad\Rightarrow\quad y=x+2 \]

إذن: \(\boxed{\,y>x\,}\) (بل \(y\) أكبر من \(x\) بمقدار \(2\)).

4) عبارة \(C\) حيث \(C-A=(x+3)(x-2)\)

(أ) قارن \(C\) و\(A\) إذا كان \(x\le -3\)

لدينا: \[ C-A=(x+3)(x-2) \]

إذا \(x\le -3\) فإن \(x+3\le 0\) و\(x-2\le -5<0\)، وبالتالي:

\[ (x+3)(x-2)\ge 0 \quad\Rightarrow\quad C-A\ge 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\,C\ge A\,} \]

وتكون المساواة عند \(x=-3\).

(ب) فكّك \(C\) إلى جداء عوامل

نكتب: \[ C=A+(x+3)(x-2) \]

ومن قبل: \[ A=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x+3) \]

إذن: \[ C=-\frac{1}{2}(x+3)+(x+3)(x-2)=(x+3)\left((x-2)-\frac{1}{2}\right) \]

\[ C=(x+3)\left(x-\frac{5}{2}\right) \]

النتيجة: \[ \boxed{\,C=(x+3)\left(x-\frac{5}{2}\right)\,} \]

تصحيح تمرين 4

تنبيه مهم: في نص التمرين داخل الورقة تظهر العبارة \(\;G=\frac{2}{3}ax(1-3b)-\frac{3}{2}x(a-b)-\frac{b}{3}\;\)، لكن المطلوب إثبات نتيجة لا تحتوي على \(x\). هذا يحدث إذا كان المقصود هو \(x=1\) (أو أن \(x\) سهوًا زِيدَت في الصياغة). سننجز التصحيح وفق النتيجة المطلوبة.

1) إثبات الصيغة المبسطة

نعتبر: \[ G=\frac{2}{3}a(1-3b)-\frac{3}{2}(a-b)-\frac{b}{3} \]

نوزّع:

\[ \frac{2}{3}a(1-3b)=\frac{2}{3}a-2ab \]

\[ -\frac{3}{2}(a-b)=-\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}b \]

إذن:

\[ G=\left(\frac{2}{3}a-2ab\right)+\left(-\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}b\right)-\frac{b}{3} \]

نجمع معاملات \(a\) ومعاملات \(b\):

\[ \frac{2}{3}-\frac{3}{2}=\frac{4}{6}-\frac{9}{6}=-\frac{5}{6} \]

\[ \frac{3}{2}-\frac{1}{3}=\frac{9}{6}-\frac{2}{6}=\frac{7}{6} \]

إذن: \[ \boxed{\,G=-\frac{5}{6}a+\frac{7}{6}b-2ab\,} \]

2) حساب \(G\) عند المعطيات

المعطى: \[ ab=-1 \quad\text{و}\quad \frac{a}{-7}=\frac{b}{-5} \]

من التناسب الثاني: \[ \frac{a}{-7}=\frac{b}{-5}\;\Rightarrow\; \frac{a}{7}=\frac{b}{5}\;\Rightarrow\;5a=7b\;\Rightarrow\; b=\frac{5}{7}a \]

نعوّض في \(ab=-1\):

\[ a\cdot\frac{5}{7}a=-1 \;\Rightarrow\; \frac{5}{7}a^2=-1 \;\Rightarrow\; a^2=-\frac{7}{5} \]

استنتاج: لا يوجد حلّ في مجموعة الأعداد الحقيقية أو الكسرية \(\mathbb{Q}\) لأن \(a^2\) لا يمكن أن يكون سالبًا.

إذا سُمِح بالأعداد المركّبة، فإن: \[ a=\pm i\sqrt{\frac{7}{5}},\qquad b=\frac{5}{7}a \] ثم نعوّض في الصيغة: \[ G=-\frac{5}{6}a+\frac{7}{6}b-2ab \] ومع \(ab=-1\) نحصل دائمًا على: \[ G=-\frac{5}{6}a+\frac{7}{6}b+2 \] ثم يُعوَّض \(b=\frac{5}{7}a\) لنجد: \[ G=-\frac{5}{6}a+\frac{7}{6}\cdot\frac{5}{7}a+2 =-\frac{5}{6}a+\frac{5}{6}a+2 =2 \] وبالتالي: إذا قبلنا أعدادًا تحقق المعطيات (مركّبة)، فإن \(\boxed{G=2}\).

تصحيح تمرين 5

1) فكّك \(A\) و\(B\)

أولاً: \(A\)

\[ A=2,1-\frac{18}{15}x \]

نحوّل \(2,1\) إلى كسر: \(2,1=\frac{21}{10}\)، ونبسّط \(\frac{18}{15}=\frac{6}{5}\):

\[ A=\frac{21}{10}-\frac{6}{5}x=\frac{21}{10}-\frac{12}{10}x=\frac{3}{10}(7-4x) \]

ونكتبها بالشكل المطلوب:

\[ 7-4x=2\left(\frac{7}{2}-2x\right)\;\Rightarrow\; A=\frac{3}{10}\cdot2\left(\frac{7}{2}-2x\right) =\frac{3}{5}\left(\frac{7}{2}-2x\right) \]

النتيجة: \(\boxed{\,A=\frac{3}{5}\left(\frac{7}{2}-2x\right)\,}\).

ثانياً: \(B\)

\[ B=\left(\frac{2}{5}-2x\right)(x-1)-\frac{3}{2}\left(\frac{1}{5}-x\right) \]

نوسّع الجداء الأول:

\[ \left(\frac{2}{5}-2x\right)(x-1)=\frac{2}{5}(x-1)-2x(x-1) =\left(\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}\right)+\left(-2x^2+2x\right) \]

ثم نوسّع الحد الثاني:

\[ -\frac{3}{2}\left(\frac{1}{5}-x\right)=-\frac{3}{10}+\frac{3}{2}x \]

نجمع الحدود:

\[ B=-2x^2+\left(\frac{2}{5}x+2x+\frac{3}{2}x\right)-\left(\frac{2}{5}+\frac{3}{10}\right) \]

حساب معامل \(x\):

\[ \frac{2}{5}+2+\frac{3}{2}=\frac{4}{10}+\frac{20}{10}+\frac{15}{10}=\frac{39}{10} \]

وحساب الثابت:

\[ \frac{2}{5}+\frac{3}{10}=\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\frac{7}{10} \]

إذن: \[ B=-2x^2+\frac{39}{10}x-\frac{7}{10} \]

نبيّن التفكيك المقترح بالتحقق:

\[ \left(\frac{1}{5}-x\right)\left(2x-\frac{7}{2}\right) =\frac{1}{5}\left(2x-\frac{7}{2}\right)-x\left(2x-\frac{7}{2}\right) =\left(\frac{2}{5}x-\frac{7}{10}\right)+\left(-2x^2+\frac{7}{2}x\right) \]

\[ =-2x^2+\left(\frac{2}{5}+\frac{7}{2}\right)x-\frac{7}{10} =-2x^2+\frac{39}{10}x-\frac{7}{10} \]

إذن فعلاً: \[ \boxed{\,B=\left(\frac{1}{5}-x\right)\left(2x-\frac{7}{2}\right)\,} \]

2) إيجاد \(x\) إذا كانت \(A\) و\(B\) متقابلين

كون \(A\) و\(B\) متقابلين يعني: \[ A=-B \]

نستعمل التفكيك:

\[ A=\frac{3}{5}\left(\frac{7}{2}-2x\right)= -\frac{3}{5}\left(2x-\frac{7}{2}\right) \]

\[ -B= -\left(\frac{1}{5}-x\right)\left(2x-\frac{7}{2}\right)=(x-\frac{1}{5})\left(2x-\frac{7}{2}\right) \]

إذن المعادلة:

\[ -\frac{3}{5}\left(2x-\frac{7}{2}\right)=(x-\frac{1}{5})\left(2x-\frac{7}{2}\right) \]

نأخذ عاملًا مشتركًا \(\left(2x-\frac{7}{2}\right)\):

\[ \left(2x-\frac{7}{2}\right)\left(-\frac{3}{5}-(x-\frac{1}{5})\right)=0 \]

وبالتالي يوجد حالتان:

1. \(\;2x-\frac{7}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{7}{4}\).
   عندها \(A=0\) و\(B=0\) (وهما متقابلان لأن \(-0=0\)).
2. \(\;-\frac{3}{5}-(x-\frac{1}{5})=0 \Rightarrow -\frac{3}{5}-x+\frac{1}{5}=0 \Rightarrow -x-\frac{2}{5}=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{5}\).

الحلول: \(\boxed{\,x\in\left\{-\frac{2}{5},\;\frac{7}{4}\right\}\,}\).