التمارين المستخرجة (باللغة العربية)

أوجد العدد الكسري النسبي \(x\) في كل حالة من الحالات التالية:

1. \(\;-\dfrac{2}{7}x=\dfrac{3}{14}\;\)
2. \(\;-\dfrac{5}{6}x+1=\dfrac{1}{3}\;\)
3. \(\;\dfrac{2}{7}\left(x-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{3}{6}\;\)

نعتبر العبارة التالية حيث \(x \in \mathbb{Q}\):

1. أ. بين أن: \[ \frac{5}{28}x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\left(-\frac{5}{7}x+2\right) \]
   ب. استنتج تفكيكًا للعبارة \(A\) إلى جداء عوامل (بين أن): \[ A=\left(\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{5}{7}x+2\right) \]
2. احسب القيمة العددية لـ \(A\) إذا علمت أن \(\;x=-\dfrac{7}{3}\).
3. أوجد العدد \(x\) إذا علمت أن العبارتين \(\;\dfrac{5}{28}x-\dfrac{1}{2}\;\) و \(\;\dfrac{3}{2}x\left(-\dfrac{5}{7}x+2\right)\;\) متقابلتان.

نعتبر العبارة الجبرية التالية حيث \(x\) و \(y\) عددان كسريان نسبيان:

1. بسط العبارة لتثبت أن: \(\;E=x-y+1\).
2. أوجد قيمة العبارة \(\;x-y\) في الحالة التي يكون فيها \(\;E=\dfrac{5}{6}\).
3. استنتج مقارنة بين \(x\) و \(y\) في الحالة التي يكون فيها \(\;E=0\).

1. احسب كلا من \(a\) و \(b\) و \(c\):
   \[ a=-\frac{1}{2}-\left[\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{8}-1\right)\right] \] \[ b=-\left(\frac{7}{3}+\frac{7}{2}\right)+\left[\frac{2}{3}-\left(-\frac{5}{3}-2\right)\right] \] \[ c=3-\left|\frac{9}{5}-\frac{13}{3}\right| \]
2. رتب النتائج المتحصل عليها تصاعديًا.
3. أثبت أن الفرق \(\;a-b\) هو عدد عشري نسبي.
4. اكتب العدد الناتج عن السؤال السابق على الشكل العلمي \(\;\dfrac{k}{10^n}\).

لتكن العبارتين \(E\) و \(F\) حيث \(x,y \in \mathbb{Q}\):

1. بين أن: \(\;E=-\dfrac{1}{2}-x\) وأن \(\;F=\dfrac{5}{8}-y\).
2. أ. احسب \(E\) إذا علمت أن \(\;|x|=\dfrac{5}{4}\).
   ب. أوجد \(y\) إذا علمت أن \(\;F=-\dfrac{4}{3}\).
3. أوجد قيمة المجموع \(\;x+y\) إذا علمت أن \(E\) و \(F\) متقابلتان.
4. قارن بين \(E\) و \(F\):
   أ. إذا كان \(\;x=y\).
   ب. إذا كان \(\;x=-2+y\).

ليكن \(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). لتكن \(I\) و \(J\) المسقطين العموديين لـ \(A\) و \(C\) على التوالي على \((DB)\).

1. أ. أثبت تقايس المثلثين \(AIO\) و \(CJO\).
   ب. استنتج أن \(\;DI=BJ\).
2. قارن المثلثين \(DIC\) و \(BJA\).
3. المستقيم المار من \(B\) والعمودي على \((BD)\) يقطع \((DC)\) في \(H\). والمستقيم المار من \(D\) والعمودي على \((BD)\) يقطع \((AB)\) في \(K\).
   أ. أثبت تقايس المثلثين \(BIK\) و \(DJH\).
   ب. استنتج أن المستقيمين \((HJ)\) و \((KI)\) متوازيان.

I. أجب بـ "صواب" أو "خطأ":

1. مثلثان قائمان تقايس أضلاعهما القائمة مثنى مثنى هما متقايسان.
2. مثلثان زواياهما متقايسة مثنى مثنى هما متقايسان.
3. مثلثان قائمان لهما وتر مشترك هما متقايسان.
4. مثلثان قائمان تقايس زواياهما الحادة مثنى مثنى هما متقايسان.

II. اختر الإجابة الصحيحة:

1. إذا كان \(AB=6\) و \(B\) على يسار \(A\) (الأصل \(0\))، فاصلة \(B\) هي:
   • \(-7,8\)
   • \(-4,2\)
   • \(4,2\)
2. إذا كان \(y<x\) فإن \(-5-x+y\) هو:
   • سالب
   • موجب
   • لا يمكن تحديد علامته
3. ليكن \(a,b \in \mathbb{Z}^*\) حيث \(\;\dfrac{a}{-5}=\dfrac{-b}{-9}\;\) إذن \(\;\dfrac{a}{b}\;\) يساوي:
   • \(-\dfrac{9}{-5}\)
   • \(\dfrac{5}{9}\)
   • \(-\dfrac{10}{18}\)

I. نعتبر المستقيم \(\Delta\) المدرج بالمعلم \((O,I)\).

1. أ. حدد فاصلي النقطتين \(A\) و \(B\) باستعمال الرسم.
   ب. عين النقط \(C(-2)\) و \(D\left(\dfrac{5}{2}\right)\) و \(E\left(-\dfrac{4}{3}\right)\).
2. احسب البعدين \(AB\) و \(EC\).
3. أوجد فاصلة النقطة \(M \in [CA]\) حيث \(\;EM=\dfrac{13}{4}\).

II. احسب واختزل:

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\) حيث \(\widehat{ABC}=68^\circ\). \(\Delta\) هو المتوسط العمودي لـ \([AC]\) يقطع المستقيم \((BC)\) في النقطة \(D\). النقطة \(E\) هي نقطة تحقق \(AE=BD\) و \(E \in [DA)\) و \(E \notin [DA]\).

1. بين حسابيا أن \(\widehat{CAE}=112^\circ\).
2. أ. بين تقايس المثلثين \(ABD\) و \(CAE\).
   ب. استنتج أن المثلث \(CDE\) متقايس الضلعين.
3. المستقيم المار من \(A\) والعمودي على \((AE)\) يقطع \((CE)\) في \(M\). المستقيم المار من \(B\) والعمودي على \((BD)\) يقطع \((AD)\) في \(N\). بين تقايس المثلثين \(AEM\) و \(BDN\).

أنقل العبارة ثم أجب بـ "صواب" أو "خطأ".

1. حل المعادلة \(\;|2x-1|=\dfrac{3}{2}\;\) في مجموعة الأعداد الكسرية هو \(\;x=\dfrac{5}{4}\;\) أو \(\;x=-\dfrac{1}{2}\).
2. إذا كان \(\;a-b=-\dfrac{3}{4}\;\) فإن القيمة العددية للعبارة \(\;\dfrac{24}{9}b+\left|\dfrac{8}{3}\right|a\;\) تساوي \(2\).
3. إذا كان العددان \(\;2y\;\) و \(\;\dfrac{1}{7}x\;\) مقلوبين لبعضهما، فإن \(\;xy=-\dfrac{7}{2}\).
4. إذا كان \(\;\dfrac{a}{b}=-3\;\) فإن \(\;2a=-6b\).

ليكن \(EFG\) مثلثًا، \(O\) منتصف الضلع \([EF]\). المستقيم المار من \(E\) والموازي لـ \((FG)\) يقطع المستقيم \((OG)\) في النقطة \(A\).

1. بين أن المثلثين \(OEA\) و \(OFG\) متقايسان.
2. استنتج أن \(O\) منتصف القطعة \([AG]\).
3. بين أن المثلثين \(OEG\) و \(OAF\) متقايسان، واستنتج بقية العناصر المتقايسة.

ليكن \(ABCD\) مستطيلاً حيث الطول \(AB=5\) والعرض \(BC=3\). لتكن \(I\) منتصف \([AB]\). المستقيم \((DI)\) يقطع حامل الضلع \((BC)\) في النقطة \(E\).

1. أثبت تقايس المثلثين \(AID\) و \(IBE\).
2. استنتج أن النقطة \(I\) هي منتصف القطعة \([DE]\).
3. أثبت تقايس المثلثين \(IBE\) و \(IBC\) (تلميح: استخدم استنتاج السؤال الأول).

(1) احسب العبارات التالية واختصر النتائج إن أمكن:

(2) نعتبر العبارة الجبرية:

1. أ- انشر واختصرها لتبين أن: \(\;E=-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{7}{5}\).
2. ب- احسب القيمة العددية لـ \(E\) إذا كان \(\;x=-\dfrac{18}{5}\).
3. ج- أوجد \(x\) الذي يحقق \(\;E=0\) وإذا كان \(\;\dfrac{4}{-9}\;\) هو مقلوب \(x\).

القوز الهندسة

ليكن \(\Delta\) مستقيمًا مدرجًا بالمعلم \((O,I)\). نعتبر النقطتين \(A\) و \(B\) من \(\Delta\) حيث فاصلتاهما على التوالي \(\;\dfrac{5}{2}\;\) و \(\;-\dfrac{1}{2}\).

1. احسب فاصلة منتصف القطعة \([AB]\)، واستنتج أن النقطة \(I\) هي منتصف \([AB]\).
2. لتكن \(M\) نقطة تنتمي إلى نصف المستقيم \([OB]\) بحيث يكون البعد \(\;OM=4\). حدد فاصلة النقطة \(M\).

\(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\). \(\widehat{ABC}=34^\circ\) و \(I\) نقطة من \([AB]\) حيث \(\widehat{ACI}=22^\circ\).

1. احسب \(\widehat{ICB}\)، ثم استنتج أن المثلث \(IBC\) متقايس الضلعين.
2. لتكن \(O\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((CI)\).
   أ- أثبت تقايس المثلثين \(AIC\) و \(OIB\).
   ب- استنتج أن: \(\;OB=AC\) و \(\;OC=AB\).
3. قارن بين المثلثين \(AOB\) و \(AOC\) (أثبت تقايسهما).
4. المستقيمان \((BO)\) و \((AC)\) يتقاطعان في \(H\). بين أن المثلث \(HBC\) متقايس الضلعين ثم احسب \(\widehat{BHC}\).

ليكن \(ABC\) مثلثًا و \(E\) نقطة مناظرة لـ \(B\) بالنسبة لـ \(A\) (أي \(A\) منتصف \([BE]\)).

1. المستقيم المار من \(E\) والموازي لـ \((BC)\) يقطع \((AC)\) في \(F\).
   * أثبت أن المثلثين \(ABC\) و \(AEF\) متقايسان.
   * استنتج أن \(A\) هي منتصف القطعة \([CF]\).
2. لتكن \(M\) من \([AC]\) و \(N\) من \([AF]\) حيث \(\;CM=FN\).
   أ- قارن بين البعدين \(AM\) و \(AN\).
   ب- أثبت تقايس المثلثين \(AMB\) و \(ANE\).
   ج- استنتج أن المستقيمين \((BM)\) و \((NE)\) متوازيان.

1. أرسم مثلثًا \(ABC\) متقايس الضلعين وقائم الزاوية في \(A\) حيث \(AB=8cm\).
2. عين النقطتين \(M\) و \(N\) من القطعة \([BC]\) حيث: \(\widehat{BAM}=\widehat{CAN}=30^\circ\).
3. بين أن المثلث \(AMN\) متقايس الضلعين.
4. لتكن \(H\) المسقط العمودي لـ \(M\) على \((AB)\) و \(K\) المسقط العمودي لـ \(N\) على \((AC)\).
   أ. بين تقايس المثلثين \(AMH\) و \(ANK\).
   ب. استنتج أن المثلث \(AHK\) متقايس الضلعين.
   4. بين أن المستقيمين \((HK)\) و \((BC)\) متوازيان.

نعتبر العبارة \(A\) حيث \(x\) عدد كسري نسبي:

1. احسب \(A\) في الحالتين التاليتين: \(\;x=-\dfrac{1}{2}\) و \(\;x=-\dfrac{3}{5}\).
2. انشر واختصر العبارة \(A\).
3. لتكن العبارة \(\;B=A+\dfrac{3}{7}x+\dfrac{3}{14}\).
   أ. فكك العبارة \(B\) إلى جداء عوامل.
   ب. أوجد \(x\) حيث \(\;B=0\).