تمارين الكسور - الجزء الأول

\(\dfrac{7 - \dfrac{11}{3}}{2 + \dfrac{7}{3}}\)
نحول الأعداد الصحيحة إلى كسور بنفس المقام:
\(7 = \dfrac{7 \times 3}{3} = \dfrac{21}{3}\) و \(2 = \dfrac{2 \times 3}{3} = \dfrac{6}{3}\)
البسط: \(\dfrac{21}{3} - \dfrac{11}{3} = \dfrac{21-11}{3} = \dfrac{10}{3}\)
المقام: \(\dfrac{6}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{6+7}{3} = \dfrac{13}{3}\)
القسمة: \(\dfrac{\dfrac{10}{3}}{\dfrac{13}{3}} = \dfrac{10}{3} \times \dfrac{3}{13} = \dfrac{10 \times \cancel{3}}{\cancel{3} \times 13} = \dfrac{10}{13}\)
\(\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{7}{5}}\)
القسمة على كسر = الضرب في مقلوبه:
\(\dfrac{7}{2} \div \dfrac{7}{5} = \dfrac{7}{2} \times \dfrac{5}{7}\)
نبسط بحذف العامل المشترك 7:
\(\dfrac{\cancel{7} \times 5}{2 \times \cancel{7}} = \dfrac{5}{2}\)
\(A = -\dfrac{7}{8} \times \dfrac{16}{5}\)
نحلل 16 = 2 × 8 قبل الضرب:
\(A = -\dfrac{7}{8} \times \dfrac{2 \times 8}{5}\)
\(A = -\dfrac{7 \times 2 \times \cancel{8}}{\cancel{8} \times 5}\)
\(A = -\dfrac{14}{5}\)
\(B = \dfrac{12}{-8} \div 5\)
أولاً نبسط الكسر بالتحليل:
\(\dfrac{12}{-8} = -\dfrac{12}{8} = -\dfrac{3 \times \cancel{4}}{2 \times \cancel{4}} = -\dfrac{3}{2}\)
القسمة على عدد صحيح:
\(B = -\dfrac{3}{2} \div 5 = -\dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5} = -\dfrac{3}{10}\)
تفكير ذكي
\(C = \dfrac{-5}{3} \times \dfrac{9}{4} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{-5}{4}\)
نلاحظ العامل المشترك \(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}\):
\(C = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} \times [(-5) \times 9 + 2 \times (-5)]\)
\(C = \dfrac{1}{12} \times [-45 - 10]\)
\(C = \dfrac{1}{12} \times (-55) = -\dfrac{55}{12}\)
\(D = \dfrac{-1}{2} \times \dfrac{5}{3} \times \dfrac{11}{4}\)
نضرب البسط في البسط والمقام في المقام:
\(D = \dfrac{(-1) \times 5 \times 11}{2 \times 3 \times 4}\)
\(D = \dfrac{-55}{24}\)
الجزء الثاني - العمليات المركبة
\(E = 2 - \dfrac{9}{4} - \dfrac{5}{2}\)
نحول جميع الحدود للمقام المشترك 4:
\(2 = \dfrac{8}{4}\) و \(\dfrac{5}{2} = \dfrac{10}{4}\)
\(E = \dfrac{8}{4} - \dfrac{9}{4} - \dfrac{10}{4}\)
\(E = \dfrac{8 - 9 - 10}{4} = \dfrac{-11}{4}\)
\(F = -3 + 3 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4}\)
نحسب الضرب أولاً:
\(3 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 1 \times 3}{2 \times 4} = \dfrac{9}{8}\)
نوحد المقامات: \(-3 = -\dfrac{24}{8}\)
\(F = -\dfrac{24}{8} + \dfrac{9}{8} = \dfrac{-24 + 9}{8} = \dfrac{-15}{8}\)
\(G = \dfrac{(1 - \dfrac{2}{5})(1 - \dfrac{5}{3})}{2}\)
نحسب كل قوس:
\(1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{5-2}{5} = \dfrac{3}{5}\)
\(1 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{3-5}{3} = \dfrac{-2}{3}\)
نضرب: \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{-2}{3}\)
نبسط العامل المشترك 3: \(\dfrac{\cancel{3} \times (-2)}{5 \times \cancel{3}} = \dfrac{-2}{5}\)
\(G = \dfrac{-2}{5} \div 2 = \dfrac{-2}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{-1}{5}\)
الجزء الثالث - القسمة والضرب المتقدم
\(A = \dfrac{3}{5} \div \dfrac{1}{10}\)
القسمة = الضرب في المقلوب:
\(\dfrac{3}{5} \div \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{1}\)
نحلل 10 = 2 × 5:
\(\dfrac{3 \times 2 \times \cancel{5}}{\cancel{5} \times 1} = 6\)
\(B = \dfrac{-2.5}{-3} \div \dfrac{3}{5}\)
نحول العدد العشري: \(-2.5 = -\dfrac{5}{2}\)
\(\dfrac{-5/2}{-3} = \dfrac{5}{2 \times 3} = \dfrac{5}{6}\) (سالب ÷ سالب = موجب)
\(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{25}{18}\)
\(C = \dfrac{5}{4} \div \left( \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2} \right)\)
نحسب القوس أولاً:
\(\dfrac{5}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{8}\)
\(C = \dfrac{5}{4} \div \dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{8}{5}\)
نبسط العامل المشترك 5: \(\dfrac{\cancel{5} \times 8}{4 \times \cancel{5}} = 2\)
\(D = \dfrac{7}{3} \div \dfrac{2}{11}\)
القسمة = الضرب في المقلوب:
\(D = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{11}{2} = \dfrac{7 \times 11}{3 \times 2} = \dfrac{77}{6}\)
استخراج عامل
\(E = \dfrac{9}{4} \times \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\)
نستخرج العامل المشترك \(\dfrac{1}{2}\):
\(E = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{9}{4} - 1\right)\)
\(E = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{9}{4} - \dfrac{4}{4}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{4}\)
\(E = \dfrac{5}{8}\)
\(\dfrac{9}{5} \times (-15)\)
نحلل 15 = 3 × 5:
\(\dfrac{9 \times (-3) \times \cancel{5}}{\cancel{5}} = 9 \times (-3) = -27\)
الجزء الرابع - العمليات المركبة المتقدمة
\((-2) \times (-13) \times (-5)\)
عدد الإشارات السالبة = 3 (فردي) ← النتيجة سالبة
\((-2) \times (-13) = 26\)
\(26 \times (-5) = -130\)
\((-9) \times (-1)\)
سالب × سالب = موجب
\((-9) \times (-1) = 9\)
\(7 \times (-4)\)
موجب × سالب = سالب
\(7 \times (-4) = -28\)
\(A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\)
المضاعف المشترك الأصغر للمقامات 3, 4, 2 = 12
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}\), \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\), \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}\)
\(A = \dfrac{4 + 3 + 6}{12} = \dfrac{13}{12}\)
\(B = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4}\)
المضاعف المشترك الأصغر للمقامات 2, 3, 4 = 12
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}\), \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\), \(\dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{12}\)
\(B = \dfrac{6 + 8 + 15}{12} = \dfrac{29}{12}\)
\(C = \dfrac{3}{2} \left( \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{4} \right)\)
نحسب القوس أولاً بتوحيد المقامات:
\(\dfrac{5}{2} = \dfrac{10}{4}\), لذا \(\dfrac{10}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}\)
\(C = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{27}{8}\)
تحليل متقدم
\(X = \dfrac{3}{2} \times \left( \dfrac{-4}{3} \right) \times \left( \dfrac{4}{3} \right) \times \left( \dfrac{-1}{2} \right)\)
نجمع العوامل ونبسط قبل الضرب:
الإشارة: (-) × (-) = (+), عددان سالبان ← موجب
\(X = \dfrac{3 \times 4 \times 4 \times 1}{2 \times 3 \times 3 \times 2}\)
نبسط العوامل المشتركة:
\(X = \dfrac{\cancel{3} \times \cancel{4} \times 4}{\cancel{4} \times \cancel{3} \times 3} = \dfrac{4}{3}\)
\(Y = \left( \dfrac{-2}{3} \right) \times \left( \dfrac{-5}{7} \right)\)
سالب × سالب = موجب
\(Y = \dfrac{(-2) \times (-5)}{3 \times 7} = \dfrac{10}{21}\)
تحدي
\(Z = \dfrac{-3}{8} \times \left( \dfrac{-11}{14} \div \dfrac{3}{7} \right)\)
نحسب القوس أولاً:
\(\dfrac{-11}{14} \div \dfrac{3}{7} = \dfrac{-11}{14} \times \dfrac{7}{3}\)
نبسط: 14 = 2 × 7
\(\dfrac{-11 \times \cancel{7}}{2 \times \cancel{7} \times 3} = \dfrac{-11}{6}\)
\(Z = \dfrac{-3}{8} \times \dfrac{-11}{6} = \dfrac{33}{48}\)
نبسط: \(\dfrac{33}{48} = \dfrac{11 \times 3}{16 \times 3} = \dfrac{11}{16}\)
إبداع رياضي
\(\dfrac{-5}{9} \div \dfrac{-2}{2} \quad,\quad \dfrac{5 + \dfrac{3}{4}}{1 + \dfrac{7}{4}} \quad,\quad \dfrac{-7}{6} + \dfrac{11}{2} - \dfrac{2}{3}\)
التعبير الأول: \(\dfrac{-5}{9} \div \dfrac{-2}{2}\)
\(\dfrac{-2}{2} = -1\)
\(\dfrac{-5}{9} \div (-1) = \dfrac{5}{9}\)
التعبير الثاني: \(\dfrac{5 + \dfrac{3}{4}}{1 + \dfrac{7}{4}}\)
البسط: \(5 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{20+3}{4} = \dfrac{23}{4}\)
المقام: \(1 + \dfrac{7}{4} = \dfrac{4+7}{4} = \dfrac{11}{4}\)
القسمة: \(\dfrac{23/4}{11/4} = \dfrac{23}{\cancel{4}} \times \dfrac{\cancel{4}}{11} = \dfrac{23}{11}\)
التعبير الثالث: \(\dfrac{-7}{6} + \dfrac{11}{2} - \dfrac{2}{3}\)
المضاعف المشترك للمقامات 6, 2, 3 = 6
\(\dfrac{11}{2} = \dfrac{33}{6}\) و \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\)
\(\dfrac{-7 + 33 - 4}{6} = \dfrac{22}{6} = \dfrac{11 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{11}{3}\)