تمارين رياضيات

التمرين 1: احسب العبارات التالية

\begin{align} A &= \left(-\frac{6}{5} \times \frac{10}{3}\right) + \left(\frac{18}{7} \times \frac{14}{9}\right) \\[0.5em] B &= \left(\frac{16}{55} \times \frac{37}{15}\right) - \left(\frac{37}{15} \times \frac{39}{55}\right) \\[0.5em] C &= \left(\frac{19}{31} \times \frac{31}{19}\right) + 31 \\[0.5em] E &= \frac{\frac{5}{2} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{5} + \frac{1}{3}} \\[0.5em] F &= \frac{\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}}{5 - 2} \\[0.5em] G &= \frac{13 \times 12}{51 \times 5} \\[0.5em] H &= \frac{1}{2} - \frac{\frac{3}{5} \times \frac{11}{-3}}{-4} \\[0.5em] K &= \frac{3}{3 - \frac{1}{3}} \end{align}

حل التمرين 1:

حساب A:

$A = \left(-\frac{6}{5} \times \frac{10}{3}\right) + \left(\frac{18}{7} \times \frac{14}{9}\right)$

$A = -\frac{60}{15} + \frac{252}{63}$

$A = -4 + 4$

$A = 0$

حساب B:

$B = \left(\frac{16}{55} \times \frac{37}{15}\right) - \left(\frac{37}{15} \times \frac{39}{55}\right)$

$B = \frac{37}{15} \times \left(\frac{16}{55} - \frac{39}{55}\right)$

$B = \frac{37}{15} \times \left(-\frac{23}{55}\right)$

$B = -\frac{851}{825}$

حساب C:

$C = \left(\frac{19}{31} \times \frac{31}{19}\right) + 31$

$C = 1 + 31$

$C = 32$

حساب E:

$E = \frac{\frac{5}{2} - \frac{3}{4}}{\frac{1}{5} + \frac{1}{3}}$

$E = \frac{\frac{10}{4} - \frac{3}{4}}{\frac{3}{15} + \frac{5}{15}}$

$E = \frac{\frac{7}{4}}{\frac{8}{15}}$

$E = \frac{7}{4} \times \frac{15}{8}$

$E = \frac{105}{32}$

حساب F:

$F = \frac{\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}}{5 - 2}$

$F = \frac{1}{3}$

حساب G:

$G = \frac{13 \times 12}{51 \times 5}$

$G = \frac{156}{255}$

$G = \frac{52}{85}$ (بعد التبسيط بالقسمة على 3)

حساب H:

$H = \frac{1}{2} - \frac{\frac{3}{5} \times \frac{11}{-3}}{-4}$

$H = \frac{1}{2} - \frac{-\frac{11}{5}}{-4}$

$H = \frac{1}{2} - \left(-\frac{11}{5} \times \frac{-1}{4}\right)$

$H = \frac{1}{2} - \frac{11}{20}$

$H = \frac{10}{20} - \frac{11}{20}$

$H = -\frac{1}{20}$

حساب K:

$K = \frac{3}{3 - \frac{1}{3}}$

$K = \frac{3}{\frac{9}{3} - \frac{1}{3}}$

$K = \frac{3}{\frac{8}{3}}$

$K = 3 \times \frac{3}{8}$

$K = \frac{9}{8}$

التمرين 2: نعتبر العبارة E التالية حيث a و b عددان كسريان نسبيان مخالفان للصفر:

$E = \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a \times b}$

أ) احسب E إذا علمت أن $a = -3$ و $b = \frac{3}{2}$
ب) احسب E إذا علمت أن $b = -\frac{1}{2}$ و $a = -\frac{5}{2}$

حل التمرين 2:

تبسيط العبارة E أولاً:

$E = \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a \times b}$

$E = \frac{\frac{b - a}{ab}}{ab}$

$E = \frac{b - a}{(ab)^2}$

أ) حساب E إذا علمت أن $a = -3$ و $b = \frac{3}{2}$:

$b - a = \frac{3}{2} - (-3) = \frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \frac{9}{2}$

$ab = (-3) \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{2}$

$(ab)^2 = \left(-\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81}{4}$

$E = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{81}{4}}$

$E = \frac{9}{2} \times \frac{4}{81}$

$E = \frac{9 \times 4}{2 \times 81}$

$E = \frac{36}{162}$

$E = \frac{2}{9}$ (بعد التبسيط بالقسمة على 18)

ب) حساب E إذا علمت أن $b = -\frac{1}{2}$ و $a = -\frac{5}{2}$:

$b - a = -\frac{1}{2} - \left(-\frac{5}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$ab = \left(-\frac{5}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{4}$

$(ab)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$

$E = \frac{2}{\frac{25}{16}}$

$E = 2 \times \frac{16}{25}$

$E = \frac{32}{25}$

التمرين 3: احسب العبارات التالية

\begin{align} A &= -\frac{5}{3} \times \left|-2 + \frac{2}{3}\right| + \frac{1}{2} \\[0.5em] B &= -\frac{13}{2} \times \frac{5}{2} + \frac{13}{2} \times \left(-\frac{4}{3}\right) \\[0.5em] C &= \frac{3}{5} - \frac{3}{-2} \\[0.5em] D &= \frac{1}{-\frac{7}{3}} \times (-2) + 2 \end{align}

حل التمرين 3:

حساب A:

$A = -\frac{5}{3} \times \left|-2 + \frac{2}{3}\right| + \frac{1}{2}$

$A = -\frac{5}{3} \times \left|-\frac{6}{3} + \frac{2}{3}\right| + \frac{1}{2}$

$A = -\frac{5}{3} \times \left|-\frac{4}{3}\right| + \frac{1}{2}$

$A = -\frac{5}{3} \times \frac{4}{3} + \frac{1}{2}$

$A = -\frac{20}{9} + \frac{1}{2}$

$A = -\frac{40}{18} + \frac{9}{18}$

$A = -\frac{31}{18}$

حساب B:

$B = -\frac{13}{2} \times \frac{5}{2} + \frac{13}{2} \times \left(-\frac{4}{3}\right)$

$B = \frac{13}{2} \times \left(-\frac{5}{2} - \frac{4}{3}\right)$

$B = \frac{13}{2} \times \left(-\frac{15}{6} - \frac{8}{6}\right)$

$B = \frac{13}{2} \times \left(-\frac{23}{6}\right)$

$B = -\frac{299}{12}$

حساب C:

$C = \frac{3}{5} - \frac{3}{-2}$

$C = \frac{3}{5} + \frac{3}{2}$

$C = \frac{6}{10} + \frac{15}{10}$

$C = \frac{21}{10}$

حساب D:

$D = \frac{1}{-\frac{7}{3}} \times (-2) + 2$

$D = \left(-\frac{3}{7}\right) \times (-2) + 2$

$D = \frac{6}{7} + 2$

$D = \frac{6}{7} + \frac{14}{7}$

$D = \frac{20}{7}$

التمرين 4: أوجد العدد الكسري x في كل حالة

\begin{align} -\frac{2}{3} |2x - 5| &= -\frac{3}{2} \\[0.5em] -\frac{3}{4} \left(2x - \frac{1}{3}\right) &= \frac{5}{2} \end{align}

حل التمرين 4:

الحالة الأولى:

$-\frac{2}{3} \times |2x - 5| = -\frac{3}{2}$

$|2x - 5| = \frac{-3}{2} \times \frac{-3}{2}$

$|2x - 5| = \frac{9}{4}$

إما: $2x - 5 = \frac{9}{4}$

$2x = \frac{9}{4} + 5$

$2x = \frac{9}{4} + \frac{20}{4}$

$2x = \frac{29}{4}$

$x = \frac{29}{8}$

أو: $2x - 5 = -\frac{9}{4}$

$2x = -\frac{9}{4} + 5$

$2x = -\frac{9}{4} + \frac{20}{4}$

$2x = \frac{11}{4}$

$x = \frac{11}{8}$

الحالة الثانية:

$-\frac{3}{4} \times \left(2x - \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{2}$

$2x - \frac{1}{3} = \frac{5}{2} \times \left(-\frac{4}{3}\right)$

$2x - \frac{1}{3} = -\frac{20}{6}$

$2x - \frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$

$2x = -\frac{10}{3} + \frac{1}{3}$

$2x = -\frac{9}{3}$

$2x = -3$

$x = -\frac{3}{2}$

التمرين 5: لتكن العبارتين E و F

\begin{align} E &= -\frac{3}{5}x - \left(-\frac{3}{5}y\right) + \frac{2}{7} \\[0.5em] F &= \frac{x}{5} + \frac{y}{-2} \end{align}

احسب E و F إذا علمت أن:

\begin{align} 5y - 2x &= -15 \\ x - y &= -\frac{3}{7} \end{align}

حل التمرين 5:

حساب E:

$E = -\frac{3}{5}x - \left(-\frac{3}{5}y\right) + \frac{2}{7}$

$E = -\frac{3}{5}x + \frac{3}{5}y + \frac{2}{7}$

$E = -\frac{3}{5}(x - y) + \frac{2}{7}$

بما أن $x - y = -\frac{3}{7}$ :

$E = -\frac{3}{5} \times \left(-\frac{3}{7}\right) + \frac{2}{7}$

$E = \frac{9}{35} + \frac{2}{7}$

$E = \frac{9}{35} + \frac{10}{35}$

$E = \frac{19}{35}$

حساب F:

$F = \frac{x}{5} + \frac{y}{-2}$

$F = \frac{x}{5} - \frac{y}{2}$

$F = \frac{2x - 5y}{10}$

من المعطى $5y - 2x = -15$ ، يمكننا كتابة $2x - 5y = 15$ :

$F = \frac{15}{10}$

$F = \frac{3}{2}$

التمرين 6: لتكن العبارة M

$M = \left(a - \frac{6}{5}\right)\left(2 - \frac{5}{3}b\right) - \frac{3}{4} a \times \left(-\frac{8}{3}\right)b$

احسب M إذا علمت أن:

\begin{align} a+b &= -\frac{3}{2} \\ \frac{a}{-5} &= \frac{2}{b} \end{align}

حل التمرين 6:

لدينا: $M = \left(a - \frac{6}{5}\right)\left(2 - \frac{5}{3}b\right) - \frac{3}{4} a \times \left(-\frac{8}{3}\right)b$

نقوم بتبسيط الجزء الثاني أولاً:

$-\frac{3}{4} a \times \left(-\frac{8}{3}\right)b = \frac{3 \times 8}{4 \times 3} ab = \frac{24}{12} ab = 2ab$

إذن، العبارة $M$ تصبح: $M = \left(a - \frac{6}{5}\right)\left(2 - \frac{5}{3}b\right) + 2ab$

من العلاقة: $\frac{a}{-5} = \frac{2}{b}$

بضرب الطرفين في الوسطين: $ab = -5 \times 2 = -10$

نعوض قيمة $ab$ في $M$:

$M = \left(a - \frac{6}{5}\right)\left(2 - \frac{5}{3}b\right) + 2(-10)$

$M = \left(a - \frac{6}{5}\right)\left(2 - \frac{5}{3}b\right) - 20$

نقوم الآن بنشر الجزء الأول:

$M = a \times 2 + a \times \left(-\frac{5}{3}b\right) + \left(-\frac{6}{5}\right) \times 2 + \left(-\frac{6}{5}\right) \times \left(-\frac{5}{3}b\right) - 20$

$M = 2a - \frac{5}{3}ab - \frac{12}{5} + \frac{30}{15}b - 20$

$M = 2a - \frac{5}{3}ab - \frac{12}{5} + 2b - 20$

مرة أخرى نعوض $ab = -10$ :

$M = 2a - \frac{5}{3}(-10) - \frac{12}{5} + 2b - 20$

$M = 2a + \frac{50}{3} - \frac{12}{5} + 2b - 20$

نجمع الحدود الثابتة ونبسط:

$M = 2a + 2b + \frac{50}{3} - \frac{12}{5} - 20$

$M = 2(a+b) + \frac{250}{15} - \frac{36}{15} - \frac{300}{15}$

$M = 2(a+b) + \frac{250 - 36 - 300}{15}$

$M = 2(a+b) + \frac{214 - 300}{15}$

$M = 2(a+b) - \frac{86}{15}$

الآن، نستخدم العلاقة المعطاة: $a+b = -\frac{3}{2}$

$M = 2\left(-\frac{3}{2}\right) - \frac{86}{15}$

$M = -3 - \frac{86}{15}$

$M = -\frac{45}{15} - \frac{86}{15}$

$M = \frac{-45 - 86}{15}$

$M = -\frac{131}{15}$

التمرين 7: نعتبر العبارات التالية حيث x و y عددين كسريين

\begin{align} A &= -\frac{9}{4}(x+3) \\[0.5em] B &= 2y - \frac{4}{3}x(0.6) - \frac{17}{4}y \\[0.5em] C &= 5(x+3)\left(\frac{1}{5} - 2x\right) \end{align}

انشر واختصر A و B.
قارن A و B إذا علمت أن $x - y = -\frac{7}{2}$
اكتب العبارة C في صيغة جذاء عوامل.
أوجد x حيث A = C.

حل التمرين 7:

1. انشر واختصر A و B:

العبارة A:

A = -9/4(x+3)

A = -9/4 x - 27/4

العبارة B:

B = 2y - 4/3 x (0.6) - 17/4 y

نحول 0.6 إلى كسر: 0.6 = 6/10 = 3/5

B = 2y - 4/3 x (3/5) - 17/4 y

B = 2y - 4/5 x - 17/4 y

B = (2 - 17/4)y - 4/5 x

B = (8/4 - 17/4)y - 4/5 x

B = -9/4 y - 4/5 x

2. قارن A و B إذا علمت أن $$ x - y = -\frac{7}{2} $$

للمقارنة، نحسب الفرق A - B:

A - B = (-9/4 x - 27/4) - (-9/4 y - 4/5 x)

A - B = -9/4 x - 27/4 + 9/4 y + 4/5 x

A - B = -9/4(x - y) - 27/4 + 4/5 x

نعوض بقيمة x - y = -7/2 :

A - B = -9/4 * (-7/2) - 27/4 + 4/5 x

A - B = 63/8 - 27/4 + 4/5 x

A - B = 63/8 - 54/8 + 4/5 x

A - B = 9/8 + 4/5 x

المقارنة تعتمد على قيمة x.

3. اكتب العبارة C في صيغة جذاء عوامل:

C = 5(x+3)(1/5 - 2x)

هذه العبارة هي بالفعل في صيغة جذاء عوامل.

4. أوجد x حيث A = C:

المعادلة هي A = C:

-9/4 (x+3) = 5(x+3)(1/5 - 2x)

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد:

-9/4 (x+3) - 5(x+3)(1/5 - 2x) = 0

نلاحظ أن (x+3) عامل مشترك:

(x+3) [ -9/4 - 5(1/5 - 2x) ] = 0

الآن نبسط التعبير داخل القوس الكبير:

-9/4 - 1 + 10x

-9/4 - 4/4 + 10x

-13/4 + 10x

إذن المعادلة تصبح:

(x+3) (10x - 13/4) = 0

هذا يعني أن أحد العاملين يجب أن يكون صفراً:

الحالة الأولى: x+3 = 0 => x = -3

الحالة الثانية: 10x - 13/4 = 0 => 10x = 13/4 => x = 13/40

القيم التي تحقق A = C هي x = -3 و x = 13/40.

تمارين في الرياضيات