تمارين في الرياضيات

حل التمرين الأول:

حساب A:

$$ A = -\frac{5}{3} \times |-2 + 2| + \frac{1}{2} $$

$$ A = -\frac{5}{3} \times |0| + \frac{1}{2} $$

$$ A = -\frac{5}{3} \times 0 + \frac{1}{2} $$

$$ A = 0 + \frac{1}{2} $$

$$ A = \frac{1}{2} $$

حساب B:

$$ B = -\frac{13}{2} \times \frac{5}{2} + \frac{13}{2} \times (-\frac{4}{3}) $$

$$ B = \frac{13}{2} \times (-\frac{5}{2} - \frac{4}{3}) $$

$$ B = \frac{13}{2} \times (-\frac{15}{6} - \frac{8}{6}) $$

$$ B = \frac{13}{2} \times (-\frac{23}{6}) $$

$$ B = -\frac{299}{12} $$

حساب C:

$$ C = \frac{3}{5} - \frac{3}{-2} $$

$$ C = \frac{3}{5} + \frac{3}{2} $$

$$ C = \frac{6}{10} + \frac{15}{10} $$

$$ C = \frac{21}{10} $$

حل التمرين الثاني:

الحالة الأولى:

$$ -\frac{2}{3} |2x - 5| = -\frac{3}{2} $$

$$ |2x - 5| = (-\frac{3}{2}) \times (-\frac{3}{2}) $$

$$ |2x - 5| = \frac{9}{4} $$

إما: $$ 2x - 5 = \frac{9}{4} $$

$$ 2x = \frac{9}{4} + 5 $$

$$ 2x = \frac{9}{4} + \frac{20}{4} $$

$$ 2x = \frac{29}{4} $$

$$ x = \frac{29}{8} $$

أو: $$ 2x - 5 = -\frac{9}{4} $$

$$ 2x = -\frac{9}{4} + 5 $$

$$ 2x = -\frac{9}{4} + \frac{20}{4} $$

$$ 2x = \frac{11}{4} $$

$$ x = \frac{11}{8} $$

الحالة الثانية:

$$ -\frac{3}{4} (2x - \frac{1}{3}) = \frac{5}{2} $$

$$ 2x - \frac{1}{3} = \frac{5}{2} \times (-\frac{4}{3}) $$

$$ 2x - \frac{1}{3} = -\frac{20}{6} $$

$$ 2x - \frac{1}{3} = -\frac{10}{3} $$

$$ 2x = -\frac{10}{3} + \frac{1}{3} $$

$$ 2x = -\frac{9}{3} $$

$$ 2x = -3 $$

$$ x = -\frac{3}{2} $$

حل التمرين الثالث:

حساب E:

$$ E = -\frac{3}{5}x - (-\frac{3}{5}y) + \frac{2}{7} $$

$$ E = -\frac{3}{5}x + \frac{3}{5}y + \frac{2}{7} $$

$$ E = -\frac{3}{5}(x - y) + \frac{2}{7} $$

بما أن $$ x - y = -\frac{3}{7} $$

$$ E = -\frac{3}{5} \times (-\frac{3}{7}) + \frac{2}{7} $$

$$ E = \frac{9}{35} + \frac{2}{7} $$

$$ E = \frac{9}{35} + \frac{10}{35} $$

$$ E = \frac{19}{35} $$

حساب F:

$$ F = \frac{x}{5} + \frac{y}{-2} $$

$$ F = \frac{x}{5} - \frac{y}{2} $$

لتوحيد المقامات: $$ F = \frac{2x - 5y}{10} $$

من المعطى $$ 5y - 2x = -15 $$، يمكننا كتابة $$ 2x - 5y = 15 $$

$$ F = \frac{15}{10} $$

$$ F = \frac{3}{2} $$

حل التمرين الرابع:

لدينا: $$ M = (a - \frac{6}{5})(2 - \frac{5}{3}b) - \frac{3}{4} a \times (-\frac{8}{3})b $$

نقوم بتبسيط الجزء الثاني أولاً:

$$ -\frac{3}{4} a \times (-\frac{8}{3})b = \frac{3 \times 8}{4 \times 3} ab = \frac{24}{12}ab = 2ab $$

إذن، العبارة M تصبح: $$ M = (a - \frac{6}{5})(2 - \frac{5}{3}b) + 2ab $$

من العلاقة: $$ \frac{a}{-5} = \frac{2}{b} $$

بضرب الطرفين في الوسطين: $$ ab = -5 \times 2 = -10 $$

نعوض قيمة $$ ab $$ في M:

$$ M = (a - \frac{6}{5})(2 - \frac{5}{3}b) + 2(-10) $$

$$ M = (a - \frac{6}{5})(2 - \frac{5}{3}b) - 20 $$

نقوم الآن بنشر الجزء الأول:

$$ M = (a \times 2) + (a \times -\frac{5}{3}b) + (-\frac{6}{5} \times 2) + (-\frac{6}{5} \times -\frac{5}{3}b) - 20 $$

$$ M = 2a - \frac{5}{3}ab - \frac{12}{5} + \frac{30}{15}b - 20 $$

$$ M = 2a - \frac{5}{3}ab - \frac{12}{5} + 2b - 20 $$

مرة أخرى نعوض $$ ab = -10 $$:

$$ M = 2a - \frac{5}{3}(-10) - \frac{12}{5} + 2b - 20 $$

$$ M = 2a + \frac{50}{3} - \frac{12}{5} + 2b - 20 $$

نجمع الحدود الثابتة ونبسط:

$$ M = 2a + 2b + \frac{50}{3} - \frac{12}{5} - 20 $$

$$ M = 2(a+b) + \frac{250}{15} - \frac{36}{15} - \frac{300}{15} $$

$$ M = 2(a+b) + \frac{250 - 36 - 300}{15} $$

$$ M = 2(a+b) + \frac{214 - 300}{15} $$

$$ M = 2(a+b) - \frac{86}{15} $$

الآن، نستخدم العلاقة المعطاة: $$ a+b = -\frac{3}{2} $$

$$ M = 2(-\frac{3}{2}) - \frac{86}{15} $$

$$ M = -3 - \frac{86}{15} $$

$$ M = -\frac{45}{15} - \frac{86}{15} $$

$$ M = -\frac{45 + 86}{15} $$

$$ M = -\frac{131}{15} $$

حل التمرين الخامس:

1. انشر واختصر A و B:

العبارة A:

$$ A = -\frac{9}{4}(x+3) $$

$$ A = -\frac{9}{4}x - \frac{27}{4} $$

العبارة B:

$$ B = 2y - \frac{4}{3}x(0.6) - \frac{17}{4}y $$

نحول 0.6 إلى كسر: $$ 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

$$ B = 2y - \frac{4}{3}x(\frac{3}{5}) - \frac{17}{4}y $$

$$ B = 2y - \frac{4}{5}x - \frac{17}{4}y $$

$$ B = (2 - \frac{17}{4})y - \frac{4}{5}x $$

$$ B = (\frac{8}{4} - \frac{17}{4})y - \frac{4}{5}x $$

$$ B = -\frac{9}{4}y - \frac{4}{5}x $$

2. قارن A و B إذا علمت أن $$ x - y = -\frac{7}{2} $$

للمقارنة، نحسب الفرق A - B:

$$ A - B = (-\frac{9}{4}x - \frac{27}{4}) - (-\frac{9}{4}y - \frac{4}{5}x) $$

$$ A - B = -\frac{9}{4}x - \frac{27}{4} + \frac{9}{4}y + \frac{4}{5}x $$

$$ A - B = -\frac{9}{4}(x-y) + (-\frac{27}{4} + \frac{4}{5}x) $$

نعوض بقيمة $$ x-y = -\frac{7}{2} $$:

$$ A - B = -\frac{9}{4}(-\frac{7}{2}) - \frac{27}{4} + \frac{4}{5}x $$

$$ A - B = \frac{63}{8} - \frac{27}{4} + \frac{4}{5}x $$

$$ A - B = \frac{63}{8} - \frac{54}{8} + \frac{4}{5}x $$

$$ A - B = \frac{9}{8} + \frac{4}{5}x $$

للمقارنة، نحتاج لمعرفة إشارة $$ \frac{9}{8} + \frac{4}{5}x $$. هذا يعتمد على قيمة $$ x $$. إذا كانت $$ \frac{9}{8} + \frac{4}{5}x > 0 $$ فإن $$ A > B $$ إذا كانت $$ \frac{9}{8} + \frac{4}{5}x < 0 $$ فإن $$ A < B $$ إذا كانت $$ \frac{9}{8} + \frac{4}{5}x = 0 $$ فإن $$ A = B $$

3. اكتب العبارة C في صيغة جذاء عوامل:

$$ C = 5(x+3)(\frac{1}{5} - 2x) $$

هذه العبارة هي بالفعل في صيغة جذاء عوامل (Factored form).

4. أوجد x حيث A = C:

لدينا:

$$ A = -\frac{9}{4}(x+3) $$

$$ C = 5(x+3)(\frac{1}{5} - 2x) $$

المعادلة هي $$ A = C $$:

$$ -\frac{9}{4}(x+3) = 5(x+3)(\frac{1}{5} - 2x) $$

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد:

$$ -\frac{9}{4}(x+3) - 5(x+3)(\frac{1}{5} - 2x) = 0 $$

نلاحظ أن $$ (x+3) $$ عامل مشترك:

$$ (x+3) \left[ -\frac{9}{4} - 5(\frac{1}{5} - 2x) \right] = 0 $$

الآن نبسط التعبير داخل القوس الكبير:

$$ -\frac{9}{4} - (5 \times \frac{1}{5}) - (5 \times -2x) $$

$$ -\frac{9}{4} - 1 + 10x $$

$$ -\frac{9}{4} - \frac{4}{4} + 10x $$

$$ -\frac{13}{4} + 10x $$

إذن المعادلة تصبح:

$$ (x+3) \left( 10x - \frac{13}{4} \right) = 0 $$

هذا يعني أن أحد العاملين يجب أن يكون صفراً:

**الحالة الأولى:** $$ x+3 = 0 $$

$$ x = -3 $$

**الحالة الثانية:** $$ 10x - \frac{13}{4} = 0 $$

$$ 10x = \frac{13}{4} $$

$$ x = \frac{13}{4 \times 10} $$

$$ x = \frac{13}{40} $$

القيم التي تحقق $$ A = C $$ هي $$ x = -3 $$ و $$ x = \frac{13}{40} $$.