تمرين رقم 2

تعتبر العبارتين التاليتين حيث $$ x $$ عدد كسري نسبي:

$$ B = \left( \frac{5}{2} x - 1 \right) (x + 2) \quad \text{و} \quad A = \frac{5}{6} x - \frac{1}{3} $$
$$ A = \frac{1}{3} \left( \frac{5}{2} x - 1 \right) $$
ب - حل في $$\mathbb{Q}$$ المعادلة $$ A = \frac{2}{3} $$
لحل المعادلة $$ A = \frac{2}{3} $$:
$$ \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$
$$ \frac{5}{6}x = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} $$
$$ \frac{5}{6}x = 1 $$
$$ x = 1 \times \frac{6}{5} = \frac{6}{5} $$
الحل هو $$ x = \frac{6}{5} $$
ج - في حالة $$ B $$ مربع كامل
لكي تكون $$ B $$ مربعًا كاملاً:
$$ B = \left( \frac{5}{2}x - 1 \right)(x + 2) $$
يجب أن يكون العاملان متساويين:
$$ \frac{5}{2}x - 1 = x + 2 $$
$$ \frac{5}{2}x - x = 2 + 1 $$
$$ \frac{3}{2}x = 3 $$
$$ x = 2 $$
عند $$ x = 2 $$:
$$ B = \left( \frac{5}{2} \times 2 - 1 \right)(2 + 2) = (5 - 1)(4) = 16 $$
وهو مربع كامل ($$4^2 = 16$$)
2 - بين أن المعادلة $$ B = A $$
(مع العلم أن: $$ B - A = \left( \frac{5}{2} x - 1 \right) \left( x + \frac{5}{3} \right) $$)
لإثبات أن $$ B = A $$، نحل المعادلة $$ B - A = 0 $$:
$$ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right)(x + 2) - \frac{1}{3}\left( \frac{5}{2}x - 1 \right) = 0 $$
نعامل العامل المشترك $$ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right) $$:
$$ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right) \left[ (x + 2) - \frac{1}{3} \right] = 0 $$
$$ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right) \left( x + 2 - \frac{1}{3} \right) = 0 $$
$$ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right) \left( x + \frac{5}{3} \right) = 0 $$
إما:
$$ \frac{5}{2}x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} $$
أو:
$$ x + \frac{5}{3} = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3} $$
نفحص الحل $$ x = \frac{2}{5} $$:
$$ \frac{5}{2} \times \frac{2}{5} - 1 = 0 $$
هذا يجعل طرفي المعادلة الأصلية صفرًا ($$0 = 0$$)، لكنه حل تافه.
الحل المقبول هو $$ x = -\frac{5}{3} $$ حيث:
$$ B = \left( \frac{5}{2} \times -\frac{5}{3} - 1 \right)\left( -\frac{5}{3} + 2 \right) = \left( -\frac{25}{6} - 1 \right)\left( \frac{1}{3} \right) = -\frac{31}{18} $$
$$ A = \frac{1}{3}\left( \frac{5}{2} \times -\frac{5}{3} - 1 \right) = \frac{1}{3}\left( -\frac{25}{6} - 1 \right) = -\frac{31}{18} $$
إذن $$ B = A $$ عندما $$ x = -\frac{5}{3} $$
3 - حل في $$\mathbb{Q}$$ المعادلة $$ B - A = 0 $$
لحل المعادلة $$ B - A = 0 $$:
$$ \left( \frac{5}{2}x - 1 \right)\left( x + \frac{5}{3} \right) = 0 $$
إما:
$$ \frac{5}{2}x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5} $$
أو:
$$ x + \frac{5}{3} = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3} $$
الحلول هي $$ x = \frac{2}{5} $$ و $$ x = -\frac{5}{3} $$
ملاحظة: الحل $$ x = \frac{2}{5} $$ يجعل $$ \frac{5}{2}x - 1 = 0 $$ وبالتالي $$ B = A = 0 $$