📝 العبارات المعطاة:
العبارة A:
$$A = -\frac{3}{4}(x-2) - \frac{5}{2}\left(\frac{1}{5}-x\right)$$
العبارة B:
$$B = -\frac{1}{3}[1-(y-0.5)]$$
العبارة C:
$$C = -\frac{12}{7}y - \frac{4}{21}x$$
$$B = y - \frac{11}{6}$$
$$A = x + \frac{5}{2}$$
السؤال الأول: تبسيط العبارات
اعتبر العبارات التالية بحيث $$x$$ و $$y$$ عددين كسريين نسبيين
قم بتبسيط العبارات A و B وتحقق من الصيغ المبسطة المعطاة.
🔍 الحل التفصيلي:
تبسيط العبارة A:
$$A = -\frac{3}{4}(x-2) - \frac{5}{2}\left(\frac{1}{5}-x\right)$$ $$= -\frac{3}{4}x + \frac{3}{4} \cdot 2 - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{5}{2}x$$ $$= -\frac{3}{4}x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}x$$ $$= x\left(-\frac{3}{4} + \frac{5}{2}\right) + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$$ $$= x\left(-\frac{3}{4} + \frac{10}{4}\right) + 1$$ $$= x \cdot \frac{7}{4} + 1 = \frac{7x}{4} + 1$$ إذن لم تكن الصيغة المعطاة صحيحة، الصحيح هو: $$A = \frac{7x}{4} + 1$$
$$A = -\frac{3}{4}(x-2) - \frac{5}{2}\left(\frac{1}{5}-x\right)$$ $$= -\frac{3}{4}x + \frac{3}{4} \cdot 2 - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{5}{2}x$$ $$= -\frac{3}{4}x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}x$$ $$= x\left(-\frac{3}{4} + \frac{5}{2}\right) + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$$ $$= x\left(-\frac{3}{4} + \frac{10}{4}\right) + 1$$ $$= x \cdot \frac{7}{4} + 1 = \frac{7x}{4} + 1$$ إذن لم تكن الصيغة المعطاة صحيحة، الصحيح هو: $$A = \frac{7x}{4} + 1$$
تبسيط العبارة B:
$$B = -\frac{1}{3}[1-(y-0.5)]$$ $$= -\frac{1}{3}[1-y+0.5]$$ $$= -\frac{1}{3}[1.5-y]$$ $$= -\frac{1}{3} \cdot 1.5 + \frac{1}{3}y$$ $$= -\frac{1}{2} + \frac{y}{3}$$ $$= \frac{y}{3} - \frac{1}{2}$$ إذن الصيغة المعطاة $$B = y - \frac{11}{6}$$ غير صحيحة
$$B = -\frac{1}{3}[1-(y-0.5)]$$ $$= -\frac{1}{3}[1-y+0.5]$$ $$= -\frac{1}{3}[1.5-y]$$ $$= -\frac{1}{3} \cdot 1.5 + \frac{1}{3}y$$ $$= -\frac{1}{2} + \frac{y}{3}$$ $$= \frac{y}{3} - \frac{1}{2}$$ إذن الصيغة المعطاة $$B = y - \frac{11}{6}$$ غير صحيحة
السؤال الثاني
أوجد العدد الكسري النسبي $$x$$ إذا علمت أن $$\frac{4A}{3} = 1$$
استخدم الصيغة المبسطة للعبارة A لحل المعادلة.
🔍 الحل التفصيلي:
استخدام الصيغة الصحيحة للعبارة A:
من السؤال الأول: $$A = \frac{7x}{4} + 1$$
من السؤال الأول: $$A = \frac{7x}{4} + 1$$
حل المعادلة:
$$\frac{4A}{3} = 1$$ $$\frac{4}{3}\left(\frac{7x}{4} + 1\right) = 1$$ $$\frac{4}{3} \cdot \frac{7x}{4} + \frac{4}{3} \cdot 1 = 1$$ $$\frac{7x}{3} + \frac{4}{3} = 1$$ $$\frac{7x}{3} = 1 - \frac{4}{3}$$ $$\frac{7x}{3} = \frac{3-4}{3} = -\frac{1}{3}$$ $$7x = -1$$ $$x = -\frac{1}{7}$$
$$\frac{4A}{3} = 1$$ $$\frac{4}{3}\left(\frac{7x}{4} + 1\right) = 1$$ $$\frac{4}{3} \cdot \frac{7x}{4} + \frac{4}{3} \cdot 1 = 1$$ $$\frac{7x}{3} + \frac{4}{3} = 1$$ $$\frac{7x}{3} = 1 - \frac{4}{3}$$ $$\frac{7x}{3} = \frac{3-4}{3} = -\frac{1}{3}$$ $$7x = -1$$ $$x = -\frac{1}{7}$$
التحقق:
$$A = \frac{7 \cdot (-\frac{1}{7})}{4} + 1 = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$$
$$\frac{4A}{3} = \frac{4 \cdot \frac{3}{4}}{3} = \frac{3}{3} = 1$$ ✓ الجواب: $$x = -\frac{1}{7}$$
$$A = \frac{7 \cdot (-\frac{1}{7})}{4} + 1 = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$$
$$\frac{4A}{3} = \frac{4 \cdot \frac{3}{4}}{3} = \frac{3}{3} = 1$$ ✓ الجواب: $$x = -\frac{1}{7}$$
السؤال الثالث
أوجد العدد الكسري النسبي $$y$$ إذا علمت أن $$|B| = \frac{1}{3}$$
استخدم الصيغة المبسطة للعبارة B وخصائص القيمة المطلقة.
🔍 الحل التفصيلي:
استخدام الصيغة الصحيحة للعبارة B:
من السؤال الأول: $$B = \frac{y}{3} - \frac{1}{2}$$
من السؤال الأول: $$B = \frac{y}{3} - \frac{1}{2}$$
حل معادلة القيمة المطلقة:
$$\left|\frac{y}{3} - \frac{1}{2}\right| = \frac{1}{3}$$ هذا يعني أن إما: $$\frac{y}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \quad \text{أو} \quad \frac{y}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}$$
$$\left|\frac{y}{3} - \frac{1}{2}\right| = \frac{1}{3}$$ هذا يعني أن إما: $$\frac{y}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \quad \text{أو} \quad \frac{y}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}$$
الحالة الأولى:
$$\frac{y}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{y}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$$ $$y = 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{2}$$
$$\frac{y}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{y}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$$ $$y = 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{2}$$
الحالة الثانية:
$$\frac{y}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}$$ $$\frac{y}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$$ $$y = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$$ الجوابان: $$y = \frac{5}{2}$$ أو $$y = \frac{1}{2}$$
$$\frac{y}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}$$ $$\frac{y}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$$ $$y = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$$ الجوابان: $$y = \frac{5}{2}$$ أو $$y = \frac{1}{2}$$
السؤال الرابع
فكك العبارة C إلى جداء عوامل
$$C = -\frac{12}{7}y - \frac{4}{21}x$$
🔍 الحل التفصيلي:
إيجاد العامل المشترك:
$$C = -\frac{12}{7}y - \frac{4}{21}x$$ نلاحظ أن $21 = 3 \times 7$، لذا: $$C = -\frac{12}{7}y - \frac{4}{3 \times 7}x = -\frac{12}{7}y - \frac{4}{21}x$$
$$C = -\frac{12}{7}y - \frac{4}{21}x$$ نلاحظ أن $21 = 3 \times 7$، لذا: $$C = -\frac{12}{7}y - \frac{4}{3 \times 7}x = -\frac{12}{7}y - \frac{4}{21}x$$
توحيد المقامات:
$$C = -\frac{12 \times 3}{7 \times 3}y - \frac{4}{21}x = -\frac{36}{21}y - \frac{4}{21}x$$ $$= -\frac{1}{21}(36y + 4x)$$
$$C = -\frac{12 \times 3}{7 \times 3}y - \frac{4}{21}x = -\frac{36}{21}y - \frac{4}{21}x$$ $$= -\frac{1}{21}(36y + 4x)$$
إخراج العامل المشترك من القوس:
$$36y + 4x = 4(9y + x)$$ إذن: $$C = -\frac{1}{21} \times 4(9y + x) = -\frac{4}{21}(9y + x)$$ التفكيك النهائي: $$C = -\frac{4}{21}(9y + x)$$
$$36y + 4x = 4(9y + x)$$ إذن: $$C = -\frac{1}{21} \times 4(9y + x) = -\frac{4}{21}(9y + x)$$ التفكيك النهائي: $$C = -\frac{4}{21}(9y + x)$$