⭐⭐ التمرين التاسع

حل المعادلات مع القيمة المطلقة والأعداد الكسرية النسبية
تمرين عدد 9
جد العدد الكسري النسبي x في الحالات التالية إن أمكن ذلك:
أ)
$$x + 0.5 = -\frac{1}{3}$$
ب)
$$|\frac{4}{5} - x| = 0$$
ج)
$$-\frac{3}{4} - x = \frac{1}{2}$$
د)
$$\frac{5}{6} + |x| = -1$$
هـ)
$$-\frac{4}{5} - x = \frac{1}{7}$$
و)
$$2 - |x| = -\frac{7}{2}$$
ز)
$$\frac{4}{5} - (2 - |x|) = 1$$
التصحيح المفصل للتمرين التاسع
قواعد أساسية لحل المعادلات
قواعد القيمة المطلقة
• $$|A| = 0$$ يعني $$A = 0$$
• $$|A| = b$$ حيث $$b > 0$$ يعني $$A = b$$ أو $$A = -b$$
• $$|A| = b$$ حيث $$b < 0$$ مستحيل (لا يوجد حل)
• $$|A| \geq 0$$ دائماً
خطوات حل المعادلات
1. تبسيط المعادلة وعزل المجهول
2. التعامل مع القيمة المطلقة حسب قواعدها
3. حل المعادلة/المعادلات الناتجة
4. التحقق من الحلول
حل المعادلات
المعادلة أ: $$x + 0.5 = -\frac{1}{3}$$
الخطوة 1: تحويل العدد العشري إلى كسر
$$x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}$$
الخطوة 2: عزل x
$$x = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2}$$
توحيد المقامات
المقام المشترك هو 6
$$-\frac{1}{3} = -\frac{2}{6}$$ و $$-\frac{1}{2} = -\frac{3}{6}$$
الخطوة 3: الحساب النهائي
$$x = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{5}{6}$$
التحقق
$$-\frac{5}{6} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$ ✅
$$x = -\frac{5}{6}$$
المعادلة ب: $$|\frac{4}{5} - x| = 0$$
قاعدة مهمة
$$|A| = 0$$ يعني $$A = 0$$
القيمة المطلقة تساوي صفر فقط عندما يكون التعبير داخلها يساوي صفر
تطبيق القاعدة
$$\frac{4}{5} - x = 0$$
عزل x
$$x = \frac{4}{5}$$
$$x = \frac{4}{5}$$
المعادلة ج: $$-\frac{3}{4} - x = \frac{1}{2}$$
عزل -x
$$-x = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}$$
توحيد المقامات
$$-x = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$$
إيجاد x
$$x = -\frac{5}{4}$$
$$x = -\frac{5}{4}$$
المعادلة د: $$\frac{5}{6} + |x| = -1$$
عزل |x|
$$|x| = -1 - \frac{5}{6} = -\frac{6}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{11}{6}$$
استحالة الحل
القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة
$$|x| \geq 0$$ دائماً
لذلك $$|x| = -\frac{11}{6}$$ مستحيل
لا يوجد حل لهذه المعادلة
المعادلة هـ: $$-\frac{4}{5} - x = \frac{1}{7}$$
عزل -x
$$-x = \frac{1}{7} + \frac{4}{5}$$
إيجاد المقام المشترك
المقام المشترك لـ 7 و 5 هو 35
$$\frac{1}{7} = \frac{5}{35}$$ و $$\frac{4}{5} = \frac{28}{35}$$
الحساب
$$-x = \frac{5}{35} + \frac{28}{35} = \frac{33}{35}$$
إيجاد x
$$x = -\frac{33}{35}$$
$$x = -\frac{33}{35}$$
المعادلة و: $$2 - |x| = -\frac{7}{2}$$
عزل |x|
$$-|x| = -\frac{7}{2} - 2 = -\frac{7}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{11}{2}$$
إيجاد |x|
$$|x| = \frac{11}{2}$$
حل معادلة القيمة المطلقة
$$|x| = \frac{11}{2}$$ يعني:
$$x = \frac{11}{2}$$ أو $$x = -\frac{11}{2}$$
$$x = \frac{11}{2}$$ أو $$x = -\frac{11}{2}$$
المعادلة ز: $$\frac{4}{5} - (2 - |x|) = 1$$
تبسيط الطرف الأيسر
$$\frac{4}{5} - 2 + |x| = 1$$
عزل |x|
$$|x| = 1 - \frac{4}{5} + 2 = 3 - \frac{4}{5} = \frac{15}{5} - \frac{4}{5} = \frac{11}{5}$$
حل معادلة القيمة المطلقة
$$x = \frac{11}{5}$$ أو $$x = -\frac{11}{5}$$
التحقق من الحل الأول
إذا كان $$x = \frac{11}{5}$$:
$$\frac{4}{5} - (2 - \frac{11}{5}) = \frac{4}{5} - (\frac{10}{5} - \frac{11}{5}) = \frac{4}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$$ ✅
$$x = \frac{11}{5}$$ أو $$x = -\frac{11}{5}$$
ملخص جميع الحلول
النتائج النهائية
أ) $$x + 0.5 = -\frac{1}{3}$$ → $$x = -\frac{5}{6}$$
ب) $$|\frac{4}{5} - x| = 0$$ → $$x = \frac{4}{5}$$
ج) $$-\frac{3}{4} - x = \frac{1}{2}$$ → $$x = -\frac{5}{4}$$
د) $$\frac{5}{6} + |x| = -1$$ → لا يوجد حل
هـ) $$-\frac{4}{5} - x = \frac{1}{7}$$ → $$x = -\frac{33}{35}$$
و) $$2 - |x| = -\frac{7}{2}$$ → $$x = \pm\frac{11}{2}$$
ز) $$\frac{4}{5} - (2 - |x|) = 1$$ → $$x = \pm\frac{11}{5}$$
نصائح مهمة للامتحان
• تذكر أن القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبداً
• $$|A| = 0$$ يعني $$A = 0$$
• $$|A| = b$$ حيث $$b > 0$$ يعطي حلين: $$A = b$$ أو $$A = -b$$
• تحقق دائماً من حلولك بالتعويض
• انتبه لتوحيد المقامات عند جمع الكسور
أخطاء شائعة يجب تجنبها
• نسيان أن $$|x| = a$$ يعطي حلين عندما $$a > 0$$
• محاولة حل $$|x| = \text{عدد سالب}$$
• عدم التحقق من الحلول النهائية
• أخطاء في عمليات الكسور