المعطى الأساسي وقواعد المقارنة
$$a \geq b$$ (a أكبر من أو يساوي b)
استراتيجية الحل
لكل مقارنة، سنقوم بـ:
1. تبسيط العبارتين إذا لزم الأمر
2. استخدام المعطى $$a \geq b$$ مع قواعد المقارنة
3. التأكد من النتيجة بأمثلة عددية
السؤال 1: مقارنة x و y
المعطيات:
$$x = a - \frac{1}{2}$$ و $$y = b - \frac{1}{2}$$
تطبيق قاعدة المقارنة
بما أن $$a \geq b$$، وبتطبيق قاعدة "نطرح نفس العدد من الطرفين":
$$a - \frac{1}{2} \geq b - \frac{1}{2}$$
$$x \geq y$$
مثال توضيحي
إذا كان $$a = 5$$ و $$b = 3$$، فإن:
$$x = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$
$$y = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$$
وفعلاً $$4.5 \geq 2.5$$ ✅
السؤال 2: مقارنة v و z
المعطيات:
$$v = -b + \frac{5}{3}$$ و $$z = -a + \frac{1}{2}$$
الخطوة 1: استخدام قاعدة الضرب في -1
بما أن $$a \geq b$$، فإن $$-a \leq -b$$
الخطوة 2: إضافة الحدود الثابتة
نضيف $$\frac{5}{3}$$ للطرف الأول و $$\frac{1}{2}$$ للطرف الثاني:
$$-a + \frac{5}{3} \text{ و } -b + \frac{1}{2}$$
الخطوة 3: مقارنة الحدود الثابتة
نحتاج لمقارنة $$\frac{5}{3}$$ و $$\frac{1}{2}$$:
$$\frac{5}{3} = \frac{10}{6}$$ و $$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$$
$$\frac{10}{6} > \frac{3}{6}$$، إذن $$\frac{5}{3} > \frac{1}{2}$$
الاستنتاج
$$v - z = (-b + \frac{5}{3}) - (-a + \frac{1}{2}) = -b + \frac{5}{3} + a - \frac{1}{2}$$
$$v - z = (a - b) + (\frac{5}{3} - \frac{1}{2})$$
بما أن $$a \geq b$$ فإن $$a - b \geq 0$$
وبما أن $$\frac{5}{3} > \frac{1}{2}$$ فإن $$\frac{5}{3} - \frac{1}{2} > 0$$
$$v \geq z$$
مثال توضيحي
إذا كان $$a = 2$$ و $$b = 1$$:
$$v = -1 + \frac{5}{3} = \frac{2}{3}$$
$$z = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$$
وفعلاً $$\frac{2}{3} > -\frac{3}{2}$$ ✅
السؤال 3: مقارنة w و t
المعطيات:
$$w = \frac{2}{3} - b$$ و $$t = -\frac{3}{2} - (a - \frac{1}{2})$$
الخطوة 1: تبسيط t
$$t = -\frac{3}{2} - a + \frac{1}{2} = -a - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -a - 1$$
الخطوة 2: حساب الفرق w - t
$$w - t = (\frac{2}{3} - b) - (-a - 1) = \frac{2}{3} - b + a + 1$$
$$w - t = (a - b) + (\frac{2}{3} + 1) = (a - b) + \frac{5}{3}$$
الاستنتاج
بما أن $$a \geq b$$ فإن $$a - b \geq 0$$
وبما أن $$\frac{5}{3} > 0$$
فإن $$(a - b) + \frac{5}{3} \geq 0$$
أي $$w - t \geq 0$$
$$w \geq t$$
التحقق بمثال
إذا كان $$a = 2$$ و $$b = 1$$:
$$w = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$$
$$t = -2 - 1 = -3$$
وفعلاً $$-\frac{1}{3} > -3$$ ✅
ملخص جميع النتائج
نتائج المقارنات النهائية
تحقق من منطقية النتائج
• في السؤال 1: نطرح نفس العدد، فتبقى العلاقة
• في السؤال 2: الضرب في -1 يعكس + إضافة عدد أكبر
• في السؤال 3: نضيف عدد موجب لفرق موجب
جميع النتائج منطقية! ✅
نصائح مهمة للامتحان
• انتبه لقاعدة الضرب في -1 (تنعكس الإشارة)
• تأكد من مقارنة الحدود الثابتة بعناية
• استخدم أمثلة عددية للتحقق من النتائج
• تذكر أن $$a \geq b$$ يعني $$a - b \geq 0$$